Задача 1
Вариант 1
Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются 6 различных цветов ткани и все стулья должны быть разного цвета? А если стулья должны быть одинакового цвета?
Вариант 2
Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?
Вариант 3
В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Вариант 4
Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по 3 ящикам?
Вариант 5
На 1 курсе изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?
Вариант 6
Студенту для сдачи экзамена надо выучить 2 учебника, 3 таблицы и 4 конспекта. Каждый день он учит по одному элементу (или конспект, или учебник, или таблица). Сколькими способами он может это сделать?
Вариант 7
Замок сейфа открывается, если набрана правильная комбинация из четырех цифр от 0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток.
Вариант 8
Майор Зимин ежедневно формирует наряд для поддержания общественного порядка в центре города N. Наряд состоит из двух человек — старшего наряда и дежурного. В распоряжении майора находится 10 полицейских. Чтобы избежать длительных контактов полицейских с нарушителями правопорядка, майор составляет наряд каждый день по-разному. Сколько дней майор Зимин может спать спокойно (т. е. до тех пор, пока какой-нибудь наряд не повторится)?
Вариант 9
В отделении сержанта Сбруева проходят службу 5 новобранцев: Белкин, Пенкин, Фенькин, Свечкин и Овечкин. В свободное от нарядов время сержант обучает их, как рассчитаться по порядку. По команде «В одну шеренгу становись!» солдаты выстраиваются справа от Сбруева и по команде «По порядку номеров рассчитайсь!» производят расчет: «первый-второй-третий-четвертый-пятый». После этого сержант перестраивает новобранцев по-новому и расчет повторяется. Сколько раз может Сбруев повторить это упражнение, используя только разные способы построения солдат?
Вариант 10
Студенты одной группы должны сдать 5 экзаменов в течение восемнадцати дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в один день разрешается сдавать не более одного экзамена?
Задача 2
Вариант 1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.
Вариант 2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?
Вариант 3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
Вариант 4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
Вариант 5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.
Вариант 6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Вариант 7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Вариант 8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?
Вариант 9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы.
Вариант 10. В классе 16 учащихся, среди них два друга — Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.
Задача 3
Вариант 1.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность, что будет два попадания.
Вариант 2.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,6. Найти вероятность, что будет хотя бы одно попадание.
Вариант 3.
В ящике находится 35 кондиционных и 12 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?
Вариант 4.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Вариант 5.
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Вариант 6.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность, что будет хотя бы одно попадание.
Вариант 7.
Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,6. Найти вероятность, что будет ровно одно попадание.
Вариант 8
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Вариант 9
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Вариант 10
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Задача 4.
Вариант 1.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
| X | -2 | |||
| P | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Вариант 2.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
| X | -5 | |||
| P | 0,1 | 0,5 | 0,2 | 0,2 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Вариант 3.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
| X | -1 | |||
| P | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Вариант 4.
Заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y.
| X | -5 | |||
| P | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
| Y | -1 | ||
| P | 0,4 | 0,3 | 0,3 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Z=X+Y.
Вариант 5.
Заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y.
| X | -2 | |||
| P | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
| Y | -1 | ||
| P | 0,4 | 0,4 | 0,2 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Z=X+Y.
Вариант 6.
Заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y.
| X | -5 | ||
| P | 0,4 | 0,3 | 0,3 |
| Y | -1 | ||
| P | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Z=X+Y.
Вариант 7.
Заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y.
| X | -3 | ||
| P | 0,5 | 0,3 | 0,2 |
| Y | -1 | ||
| P | 0,4 | 0,4 | 0,2 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Z=X+Y.
Вариант 8.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
| X | -5 | |||
| P | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Вариант 9.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
| X | -3 | |||
| P | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,6 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Вариант 10.
Задан закон распределения независимой случайной величины Х.
| X | -4 | |||
| P | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,2 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.
Литература.
Основные источники:
1. Спирина М.С. Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования/ Спирина М.С. Спирин П.А.-6-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2015. – 352 с.