Примеры дифференцирования сигналов

Лабораторная работа №1

Исследование характеристик дифференцирующей цепи

 

1. Цель работы: овладение методами измерения основных характеристик линейной цепи (звена).

 

Теоретические основы

 

Дифференцирующей называется электрическая цепь, в которой выходная величина пропорциональна производной от входной величины. Простейшими дифференцирующими цепями могут служить цепи с емкостью или индуктивностью (рис.2.1).

 

Рис.2.1 Простейшие дифференцирующие цепи

В цепи с емкостью

 

Принимая u_c (t) за входную величину, а ток i_c (t) – за выходную, получим дифференцирующую цепь.

В цепи с индуктивностью

Принимая i_L (t) за входную величину, а u_L (t) – за выходную, получим дифференцирующую цепь.

Использовать ток как входную или выходную величину практически затруднительно, так как в первом случае необходимо иметь стабильный источник тока, а во втором для его измерения необходимо включить последовательно дополнительное сопротивление, которое оказывает влияние на процесс. Следовательно, входной и выходной величинами целесообразно выбирать напряжения, при этом используются rC - и rL – цепи. На практике широкое распространение получила rC - цепь.

 

Условие, при котором rC -цепь выполняет операцию дифференцирования, вытекает из уравнения

Если принять

то

При синусоидальном входном напряжении уравнение цепи в комплексной форме

 

По условию дифференцирования

тогда

 

или

При несинусоидальной форме напряжения U₁(t) условие дифференцирования должно быть выполнено для всех гармонических составляющих входного сигнала. При этом условием дифференцирования является

где ω_В – частота наивысшей гармоники, которой нельзя пренебречь.

 

Идеальное дифференцирование прямоугольного импульса показано на рис. 2.2,а. Амплитуда выходного сигнала u₂(t)бесконечно велика.

 

 

Рис.2.2 Идеальное (а) и реальное (б) дифференцирование прямоугольного импульса

 

График напряжения u₂(t)на выходе реальной дифференцирующей цепи показан на рис.2.2,б. Напряжение u₂(t)представляет собой импульсы экспоненциальной формы с чередующейся полярностью.

За длительность выходного импульса принимают время, равное утроенному значению постоянной времени цепи . Амплитуда импульсов равна величине входного напряжения. Сравнение временных диаграмм реальной и идеальной дифференцирующей цепи (рис.1,а и 1,б) показывает, что при уменьшении τ длительность импульсов u₂(t)сокращается и кривая u₂(t)стремится по форме к производной входного напряжения. Величина τ называется постоянной времени цепи и соответствует изменению выходного напряжения на 63% от исходного (e^-1 = 0.37). Очевидно, что время изменения выходного напряжения зависит от сопротивления резистора и емкости конденсатора и, соответственно, постоянная времени цепи пропорциональна этим значениям, т. е. τ = RC (в секундах).

Дифференцирующая цепь называется еще укорачивающей, так как длительность выходных импульсов значительно меньше, чем входных.

 

Допустим, конденсатор разряжен. При подаче на вход RC-цепи импульса напряжения конденсатор сразу же начнет заряжаться током, проходящим через него самого и резистор. Сначала ток будет максимальным, затем по мере увеличения заряда конденсатора постепенно уменьшится до нуля по экспоненте. Когда через резистор проходит ток, на нем образуется падение напряжения, которое определяется, как U=i R, где i-ток заряда конденсатора. Поскольку ток изменяется экспоненциально, то и напряжение будет изменяться также - экспоненциально от максимума до нуля. Падение напряжения на резисторе как раз и является выходным, величину которого можно определить по формуле U_вых = U₀e^-t/τ.

Передаточная функция цепи (коэффициент передачи) - равна отношению комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе:

, где - фазово-частотная характеристика, - амплитудно-частотная характеристика цепи.

Импульсная характеристика g(t) - реакция цепи на действие сигнала в виде δ-функций, т. е. это сигнал на выходе, если сигнал на входе есть d-функция. при . При этом g(t) = 0 при t < 0 – выходной сигнал не может возникнуть ранее момента появления входного сигнала.

Импульсная характеристика цепи и передаточная функция связаны преобразованием Фурье:

Переходная характеристика цепи h(t) - является откликом на сигнал, называемый единичным скачком: h(t) = 1 при t >0, h(t) = 0 при t < 0, при этом

Для дифференцирующей цепи:

Комплексный коэффициент передачи: ,

Передаточная функция:

ФЧХ: ; АЧХ:

Импульсная характеристика:

Рис.2.3 АЧХ (а) и ФЧХ (б) идеального дифференциатора

Условие хорошего дифференцирования сигнала: для синусоидального колебания с частотой w дифференцирование осуществляется при условии, что частота его много меньше величины 1/ RC. Если на входе действует сложный сигнал, то он будет хорошо дифференцироваться, если наивысшая частота в спектре входного сигнала много меньше граничной частоты цепочки.

Подставляя в выражение для передаточной функции K(p) вместо р комплексную величину jω, мы получаем однозначную зависимость между передаточной функцией и частотными характеристиками звена. При этом комплексная величина K(jω) есть функция частоты, и называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). При построении K(jω) в прямоугольной системе координат - комплексной плоскости - получаем годограф амплитудно-фазовой характеристики, где частота ω входит как параметр. Примерный вид годографа АФХ показан на рис. 2.4. Каждой точке такого годографа соответствует определенная частота ω, как и помечено на рисунке.

Рис.2.4 Амплитудно-фазовая характеристика

 

АФЧХ реального дифференцирующего звена приведена на рис. 2.5.

Рис.2.5 Годограф АФЧХ реального дифференцирующего звена

 

Годограф описывает полуокружность с радиусом, стремящимся к ¥ при T стремящимся к 0. При этом годограф прижимается к положительной мнимой полуоси и становится практически неотличим от годографа идеального дифференцирующего звена.

Частота w*=1/T считается максимальной, при которой еще реальное дифференцирующее звено работает "почти как идеальное". При достаточно низких частотах реальное дифференцирующее звено близко к идеальному.

Примеры дифференцирования сигналов

 

1. Подаем на вход синусоидальное напряжение.

Выходное напряжение:

Таким образом, напряжение на входе изменяется по закону косинуса.

2. На вход подается сигнал треугольной формы (рис.2.6):

Рис. 2.6 Дифференцирования сигнал треугольной формы

Выходной сигнал - это прямоугольное напряжение, частота которого равна частоте входного сигнала: , таким образом, любому линейно изменяющемуся сигналу на входе дифференциатора соответствует постоянный выходной сигнал, величина которого пропорциональна крутизне входного сигнала; этот выходной сигнал остается постоянным в течении всего времени, пока входной сигнал сохраняет постоянный наклон.

1. На вход подается прямоугольный сигнал (рис. 2.7):

Рис. 2.7 Дифференцирования прямоугольного сигнала

Участки входного сигнала, на которых его значение постоянно не дают никакого напряжения на выходе дифференциатора, так как производная постоянной величины равна нулю.

 

Участки нарастания и спада импульсов можно аппроксимировать наклонными прямыми. Так как t_Н= t_С выходное напряжение во время нарастания равно выходному напряжению во время спада и противоположно ему по закону. Ненулевое выходное напряжение вообще появляется только во время спада или нарастания импульсов.

 

1. Порядок выполнения работы

3.1. Ко входу дифференцирующей цепи подключить генератор синусоидального напряжения, к выходу – осциллограф (рис. 3.1) и снять амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) цепи, т.е. зависимость коэффициента передачи цепи от частоты входного сигнала. Отсчеты частоты рекомендуется брать в логарифмическом масштабе. Построить АЧХ.

 

 

Рис. 3.1 Схема установки для снятия частотных характеристик дифференцирующего звена

 

3.2. Собрать установку по схеме, приведенной на рис.3.2. С выхода дифф. звена подать сигнал на Y–пластины осциллографа, а входной сигнал – на X-пластины осциллографа. Снять фазово-частотную характеристику (ФЧХ) звена. Фазовый сдвиг между входным и выходным напряжением звена определяется по параметрам эллипса на экране осциллографа (рис.3.3)

 

Рис. 3.2 Схема установки для снятия фазово-частотных характеристик дифференцирующего звена

Перед измерением фазы необходимо выровнять амплитуды сигналов, подаваемых на Y- и X-пластины осциллографа. Для этого убирается сигнал с Y-пластин. На экране осциллографа образуется горизонтальная линия. Запоминается ее размер в делениях осциллографической сетки. Затем убирается сигнал с X-пластин и подводится сигнал с выхода звена к Y-пластинам осциллографа. На экране образуется вертикальная линия. Ручкой «регулировка усиления по вертикали» добиваются, чтобы размер вертикальной линии был одинаков с ранее наблюдаемой горизонтальной. После этого восстанавливается схема измерения, приведенная на рис.3.2, и определяется сдвиг фазы по параметрам эллипса А и В: .

Следует проводить фазовые измерения на тех же частотах, на которых измерялся коэффициент передачи звена при снятии частотной характеристики. По полученным результатам построить фазовою характеристику линейного звена, т.е. зависимость фазового сдвига φ между входным и выходным сигналом от частоты, а по АЧХ и ФЧХ – построить годограф.

Рис. 3.3 Определение фазового сдвига между входным и выходным напряжением звена

 

3.3. Собрать схему установки, приведенной на рис.3.4. На вход линейного звена подать прямоугольные импульсы с генератора импульсов и с помощью осциллографа наблюдать характер переходного процесса на выходе цепи. Зарисовать полученные осциллограммы и замерить параметры переходного процесса.

 

 

Рис. 3.4 Схема установки для снятия переходных характеристик дифференцирующего звена

 

Содержание отчета

1. Титульный лист установленного образца с наименованием работы.
2. Цель работы.
3. Функциональные схемы лабораторной установки.
4. Основные формулы исследуемых характеристик.
5. Таблицы измерений.
6. Графики или осциллограммы измеренных зависимостей.
7. Выводы по работе.

Вопросы для проверки

 

1. Что такое дифференцирующая цепь?
2. Запишите для дифференцирующего звена:

а) передаточную функцию К(р)

б) дифференциальное уравнение

в) комплексный коэффициент передачи K(jω)

г) модуль комплексного коэффициента передачи A(ω)=|K(jω)|

д) фазовую характеристику

е) импульсную и переходную характеристики.

3. Построить графики A(ω), φ(ω), годограф, h(t), g(t), для дифференцирующего звена.