• если объем выборок превышает 30, выборочное распределение средних для большинства генеральных совокупностей является приближенно нормальным;
• если генеральная совокупность распределена симметрично, выборочное распределение средних становится приближенно нормальным уже при п = 15;
• если генеральная совокупность является нормально распределенной, выборочное распределение средних является нормальным при любом объеме выборок.
Задачи к разделу IV
Задача 9. Рассмотрим выборку, имеющую объем п = 25,извлеченную из нормально распределенной генеральной совокупности, математическое ожидание которой равно 100, а среднее квадратическое отклонение — 10.
1. Вычислите вероятность того, что 
< 95.
2. Вычислите вероятность того, что 95 < < 97,5.
3. Вычислите вероятность того, что > 102,2.
4. Вычислите вероятность того, что 99 < < 101.
5. Какому значению X соответствует вероятность Р( > X), равная 65%?
6. Как изменятся ответы на вопросы 1-5, если объем выборки n = 16?
Задача 10. Рассмотрим выборку, имеющую объем п = 100, извлеченную из нормально распределенной генеральной совокупности, математическое ожидание которой равно 50, а среднее квадратическое отклонение — 5.
1. Вычислите вероятность того, что < 49,5.
2. Вычислите вероятность того, что 47 < < 49,5.
3. Вычислите вероятность того, что > 51,1.
4. Вычислите вероятность того, что 49 < < 51.
Задача 11. Диаметры шариков для настольного тенниса, произведенных на большой фабрике, имеют приближенно нормальное распределение. Математическое ожидание этого распределения равно 5,5 см, а среднее квадратическое отклонение — 0,05 см.
1. Какова вероятность того, что диаметр случайно выбранного шарика меньше 5,45 см?
2. Какова вероятность того, что диаметр случайно выбранного шарика лежит в интервале от 5,4 до 5,55 см?
3. Между какими двумя значениями (симметрично расположенными относительно математического ожидания) лежат 60% диаметров шариков?
4. Чему равны математическое ожидание генеральной совокупности и стандартная ошибка среднего, вычисленные по большому количеству выборок, состоящих из 25 шариков?
5. Как распределены выборочные средние, вычисленные по большому количеству выборок, состоящих из 25 шариков?
6. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству выборок, состоящих из 25 шариков, меньше 5,48 см?
7. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству выборок, состоящих из 25 шариков, дожит в интервале от 5,49 до 5,52 см?
8. Между какими двумя значениями (симметрично расположенными относительно математического ожидания) лежат 60% выборочных средних? 9. Что более вероятно — диаметр отдельного шарика превысит 5,4 см, выборочное среднее, подсчитанное по выборке, состоящей из 4 шариков, окажется больше 5,55, или выборочное среднее, подсчитанное по выборке, состоящей из 25 шариков, окажется больше 5,51? Обоснуйте свой ответ.
Задача 12. Время, которое пользователипроводят, пользуясь электронной почтой, распределено по нормальному закону, Его математическое ожидание равно 8 мин., а среднее квадратическое отклонение — 2мин.
1. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству выборок, состоящих из 25 сеансов работы с электронной почтой, лежит в интервале от 7,8 до 8,2 мин?
2. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству выборок, состоящих из 25 сеансовработы с электронной почтой, лежит в интервале от 7,5 до 8 мин?
3. Какая доля выборочных средних, вычисленных по большому количеству выборок, состоящих из 100 сеансов работы с электронной почтой, лежит в интервале от 7,8 до 8,2 мин?
4. Какое событие более вероятно:
продолжительность определенного сеанса работы с электронной почтой превышает 11 мин.;
выборочное среднее, вычисленное по большому количеству выборок, состоящему из 25 сеансов, превысит 9 мин.;
выборочное среднее, вычисленное по большому количеству выборок, состоящему из 100 сеансов, превысит 8,6 мин.?
Задача 13. Время, которое служащий затрачивает на обслуживание одного клиента, распределено по нормальному закону.Его математическое ожидание равно5,5 мин., а среднее квадратическое отклонение — 0,5 мин. Предположим, из генеральной совокупности извлечена выборка, состоящая из 16 клиентов.
1. Какова вероятность, что среднее время, которое затрачивается на обслуживание клиента, не меньше 5 мин.?
2. Допустим, вероятность того, что выборочное среднее, подсчитанное по выборке,состоящей из 16 клиентов, не превосходит некую продолжительность обслуживания, равна 85%. Вычислите эту величину.
3. Допустим, вероятность того, что выборочное среднее, подсчитанное по выборке, состоящей из 64 клиентов, не превосходит некую продолжительность обслуживания, равна 85%. Вычислите эту величину.