IV. Выборочные распределения

Оценка качества продукции, как правило, осуществляется на основе выборочного исследования. На практике из генеральной совокупности извлекается выборка заранее установ­ленного объема. Элементы, принадлежащие данной выборке, выбираются случайным образом, например, с помощью таблицы случайных чисел. Распределе­ния выборочных параметров называют выборочными. Для оценки математического ожидания распреде­ления чаще всего используется арифметическое среднее. Это наилучшая оценка математического ожидания, если распределение является нормальным.

Основной целью анализа статистических данных являются выводы о свойствах и качестве всей генеральной совокупности. Статисти­ческие выводы относятся к генеральным совокупностям, а нек выборкам из них. Например, изучают результаты выборочных обследований только для того, чтобы оценить шансы кандидатов получить голоса от всех избирателей, участвующих в выборах. Аналогично менеджера по качеству выбо­рочные показатели интересуют лишь потому, что они позволяют сделать выводы о качестве всей продукции компании. Выборочные параметры, в том числе, и выборочное среднее, полу­ченное при обследовании конкретной выборки, само по себе интереса не представляют.

Арифметическое среднее[3] называется несмещенным (unbiased), поскольку среднее значение всех выборочных средних (при заданном объеме выборки п)равно математи­ческому ожиданию генеральной совокупности.

Упражнение 4. Предположим, что генеральная совокупность – это оценки, которые получили три студента на экзамене по статистике. Каждый из них получил различные оценки: 3; 2 и 4.

Математическим ожиданием для данной генеральной совокупности будет сумма всех баллов совокупности, деленная на ее объем:

(9)

где μ — математическое ожидание генеральной совокупности;

N — объем генеральной совокупности;

X_i — i -й элемент генеральной совокупности;

— сумма всех элементов генеральной совокупности.

Средним квадратическим отклонением генеральной совокупности оценок будет корень квадратный из ее дисперсии:

(10)

Решение. Таким образом, для приведенных данных, имеем:

.

.

Если из этой генеральной совокупности необходимо извлечь выборку, состоящую из оценок двух студентов, то возникает 3 варианта выбора: .

Этим вариан­там соответствуют следующие средние баллы:

Вариант выборки (студенты)	Экзаменационные оценки	Средний балл выборки
1и2	3и2	2,5
1и3	3и4	3,5
2и3	2и4
Средний балл всех выборок,

Если усреднить все варианты средних значений, мы получим величи­ну μ , равную математичес к ому ожиданию генеральной совокупности μ, т.е. число равное 3.

Итак, среднее значениевсех выборочных средних равно математическому ожи­данию генеральной совокупности. Следовательно, хотя нам неизвестно, насколько хо­рошо конкретное выборочноесреднее аппроксимирует математическое ожидание гене­ральной совокупности, среднее значение всех выборочных средних совпадает с мате­матическим ожиданием генеральной совокупности.