Интеграл Римана был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить понятие интеграла на случай бесконечного промежутка, а также на случай, когда подынтегральная функция является неограниченной.
Опр. Пусть 
задана на луче 
и интегрируема на любом конечном отрезке 
. Если существует предел 
, то он называется несобственным интегралом первого рода и обозначается 
.
Опр. Пусть задана на полуинтервале 
, интегрируема на любом конечном отрезке , 
и неограниченна в окрестности точки 
. Если существует предел 
, то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается 
.
Если указанные пределы конечные, то интегралы называются сходящимися, если бесконечные, то расходящимися, если пределы не существуют, то, говорят, что несобственные интегралы не существуют.
Замечание. Определение несобственного интеграла на полуинтервале является содержательным лишь при неограниченности функции в окрестности точки . Действительно, если определена и ограничена на , то доопределив в точке , получим интегрируемую на 
функцию. При этом интеграл не зависит от значения функции в одной точке .
Теор. (Критерий Коши сходимости несобственных интегралов) Пусть задан интеграл 
с единственной особенностью в точке ( неограниченна в точке или 
). Для его сходимости необходимо и достаточно выполнения условия Коши: 
.
Док. Рассмотрим функцию 
Тогда сходимость интеграла означает существование конечного предела функции 
при 
, а этот конечный предел, согласно Критерию Коши для функции , существует в том и только том случае, когда удовлетворяет условию: 
. Но 
. Теорема доказана.
Свойства несобственных интегралов.
1. и 
, особенность в точке - сходятся и расходятся одновременно. (Критерий Коши формулируется одинаково).
2. 
= 
+ 
.
(Является следствием равенства 
= 
+ 
).
3. Если 
- сходится, то сходится , причем 
.
(Из условия Коши сходимости интеграла следует условие Коши для интеграла , т.к. справедливо неравенство 
. Воспользуемся неравенством 
В силу сходимости интегралов существуют пределы от левой и правой частей. Переходя к пределам, получаем неравенство .)
Несобственные интегралы от неотрицательных функций.
Теор. Если 
, то для сходимости необходимо и достаточно, чтобы функция 
бала ограничена сверху, т.е. 
.
Док. Так как возрастающая функция, то из сходимости интеграла следует 
Обратно, если возрастающая функция и ограничена сверху, то она имеет конечный предел. Теорема доказана.
Теор. (Признак сравнения). Если 
выполняется условие 
, тогда:
а). Из сходимости 
следует сходимость ;
б). Из расходимости следует расходимость .
Док. а). Имеем 
Так как 
, то по предыдущей теореме сходится.
б). Из расходимости следует расходимость . Предположим обратное, что сходится, тогда по пункту а) тоже сходится. Противоречие. Теорема доказана.
Теор. (Предельный признак сравнения). Пусть функции и 
положительны и 
, тогда несобственные интегралы и сходятся и расходятся одновременно.
Док. 
. Раскрывая последнее неравенство 
и используя признак сравнения, получим, что интегралы и сходятся и расходятся одновременно. Теорема доказана.
Интегрирование по частям несобственных интегралов.
Пример. Показать, что 
сходится.
. Переходим к пределу 
. Последний интеграл сходится абсолютно, т.к. сходится интеграл от модуля функции 
.
Аналогично показывают, что 
тоже сходится.
Пример. Показать, что сходится не абсолютно (условно).
. Первый из последних двух интегралов расходится, второй – сходится, значит, их разность расходится. 