Функции многих переменных.

Опр. Точкой мерного пространства называется упорядоченная совокупность вещественных чисел . Число называется той координатой точки .

Опр. Пространством называется совокупность точек мерного пространства, расстояние между которыми определяется равенством .

Расстояние обладает свойствами:

1. ;

2. ;

3. .

Опр. окрестностью точки называется совокупность точек , удовлетворяющих неравенству . Обозначается .

Опр. Прямоугольной окрестностью точки называется совокупность точек , удовлетворяющих неравенствам . .

Утверждение. Какова бы ни была , существует , такая, что , и, наоборот, какова бы ни была , существует , такая, что .

Опр. Говорят, что на множестве задана последовательность , если каждому натуральному поставлена в соответствие точка .(Не обязательно разные точки для разных ).

Опр. Точка называется пределом последовательности , если .

Утверждение. Для того чтобы сходилась к точке , необходимо и достаточно, чтобы .

Открытое множество.

Пусть - некоторое множество точек в пространстве .

Опр. Точка называется внутренней точкой, если существует окрестность точки , содержащаяся в множестве .

Опр. Множество называется открытым, если все его точки внутренние.

Опр. Точка называется граничной точкой множества, если в любой окрестности этой точки существуют точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие множеству.

Опр. Множество называется ограниченным, если существует мерный шар с центром в начале координат, такой, что .

Опр. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной прямой, принадлежащей этому множеству.

Опр. Областью называется открытое связное множество.

Предел и непрерывность функции.

Говорят, что на множестве задана функция , если каждой точке поставлено в соответствие действительное число .

Опр. , если определена в некоторой окрестности точки , за исключением быть может самой этой точки, и если .

Опр. (По Гейне) , если .

Опр. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и в самой этой точке, и если , то есть .

Частные производные.

Этот предел, если он существует, называется частной производной функции .

Дифференцируемость функции многих переменных.

Опр. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде ,

где: - не зависит от ; при ; ; .

Теор. (Необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , тогда она имеет в этой точке все частные производные.

Док. Пусть дифференцируема в точке , то есть . Пусть . Тогда , . Следовательно существует предел . Аналогично доказывается для .

Теор. (Достаточное условие дифференцируемости). Если все частные производные определены в окрестности точки и непрерывны в ней, тогда дифференцируема в точке .

Док. Рассмотрим приращение функции двух переменных. .

Используя два раза теорему Лагранжа о среднем и непрерывность частных производных, последнее выражение представим в виде .

Здесь: при .

Раскрывая скобки и группируя слагаемые, имеем .

при .

Таким образом, приращение функции представлено в виде , где - являются частными производными и не зависят от и . Теорема доказана.

Замечание. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости. Рассмотрим функцию двух переменных

Функция дифференцируема в точке , так как .

Частная производная не имеет предела при и, следовательно, не является непрерывной в точке .

Теор. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки ее можно представить в виде: , где - некоторые непрерывные в точке функции.

Док. Из дифференцируемости имеем . Так как . Доопределив функцию в точке нулем, получим непрерывную функцию . Таким образом, имеем .

Обратно, из равенства в формулировке теоремы, используя непрерывность функций в точке , т.е. , получаем . Действительно при . Теорема доказана.

Дифференцирование сложной функции.

Теор. Пусть дифференцированы в точке и функция дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцированы в точке , причем , где: ; .

Док. Имеем . Так как некие непрерывные функции, тогда тоже непрерывная функция, а значит дифференцируема. В силу равенств частную производную можно записать в виде . Теорема доказана.

Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.

Опр. Пусть дифференцируема в точке , тогда линейная относительно часть приращения этой функции называется дифференциалом .

Найдем дифференциал сложной функции .

Таким образом, форма записи первого дифференциала не зависит от того, зависимыми или независимыми являются переменные.

Геометрический смысл дифференциала. Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Вектор нормали к ней.

- дифференциал.

- уравнение касательной плоскости.

- вектор нормали.

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Продифференцировав частные производные первого порядка по или по , получим производные второго порядка: ; ; ; .

Теор. (О смешанных производных). Пусть определена вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки , причем и непрерывны в этой точке, тогда .

Док. - приращение функции по переменной . Возьмем от приращения функции по приращение по . Последнее выражение можно рассматривать как приращение вспомогательной функции по переменной , поэтому, применяя к этому приращению теорему о среднем Лагранжа, получим . К выражению в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа как к приращению функции по переменной и получим . Аналогично . Приравниваем полученные выражения и переходим к пределу при . Учитывая непрерывность производных и , получим требуемое равенство . Теорема доказана.

Пусть имеет непрерывные вторые частные производные в точке , а, значит, ее первые частные производные дифференцируемы в этой точке. Возьмем дифференциал от первого дифференциала, считая и константами, .

. .

Формула Тейлора.

Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные до той включительно. Тогда ее можно разложить в окрестности точки по формуле Тейлора , где - точка, лежащая на прямой между точками и . Последнее слагаемое называется остаточным членом в форме Лагранжа. Данная формула совпадает с формулой Тейлора для функции одной переменной, если последнюю записать через дифференциалы. Формулу Тейлора можно записать и с остаточным членом в форме Пеано .

Экстремумы.

Опр. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если . В случае строгих неравенств экстремумы называются строгими.

Теор. (Необходимое условие экстремума). Пусть имеет экстремум в точке , тогда, если существуют частные производные первого порядка , то они равны нулю в этой точке.

Док. Зафиксируем все переменные кроме той. Получим функцию одной той переменной, которая имеет экстремум, а, значит, ее производная, согласно теореме Ферма, равна нулю. Теорема доказана.

Замечание. Если функция имеет экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, а, значит, имеет все производные первого порядка, тогда .

Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным для существования экстремума. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть простую функцию .

Опр. Квадратичная форма называется:

а) положительно определенной квадратичной формой, если

б) отрицательно определенной квадратичной формой, если

в) неопределенной квадратичной формой, если

Критерий Сильвестра. Квадратичная форма положительно определена в том и только том случае, когда все главные миноры ее матрицы положительны

Квадратичная форма отрицательно определена, если положительно определена. Утверждение. Если квадратичная форма положительно определена, то найдется такое положительное число , что .

Действительно. Рассмотрим квадратичную форму на сфере . Функция положительно определена и непрерывна на сфере (замкнутом ограниченном множестве), значит, принимает в некоторой точке сферы минимальное положительное значение . Если , то точка принадлежит сфере, поэтому . Используя однородность квадратичной формы, получаем , то есть .

Теор. (Достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные второго порядка, и пусть . Тогда, если - положительно определенная квадратичная форма, то - точка строгого минимума, если - отрицательно определенная квадратичная форма, то - точка строгого максимума, если - неопределенная квадратичная форма, то в точке нет экстремума.

Док. Используя формулу Тейлора при и тот факт, что , запишем приращение функции .

Пусть является положительно определенной квадратичной формой, тогда в силу последнего утверждения найдется такое положительное число , что . Теперь приращение функции можно записать в виде . Последний член в неравенстве более высокого порядка малости при , чем предпоследний. Поэтому найдется окрестность точки , в которой предпоследний член превзойдет последний по модулю, и мы получим , то есть в точке будет наблюдаться локальный минимум. Аналогично доказывается для отрицательно определенной квадратичной формы. Для неопределенной квадратичной формы доказывается методом от противного. Теорема доказана.

Условный экстремум.

Пусть задана функция и уравнения связи

Опр. Функция имеет в точке условный максимум (минимум), если и удовлетворяющим уравнениям связи выполняется неравенство . В случае строгих неравенств условные экстремумы называются строгими.

Прямой метод отыскания условного экстремума.

Предположим, что из системы уравнений связи можно выразить какие-либо переменных через остальные переменных. Тогда, подставив их в получим функцию переменных. Задача отыскания условного экстремума сводится, таким образом, к отысканию обычного экстремума.

Наибольшие и наименьшие значения функции.

Пусть непрерывная функция определена в некоторой ограниченной замкнутой области, граница которой задается уравнением . Наибольшие и наименьшие значения функция может принимать в точках экстремума (внутри области) и на границе области в точках условного экстремума функции с уравнением связи .

Неявные функции.

Рассмотрим уравнение . Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, можно назвать графиком уравнения. Например, множеством точек, удовлетворяющих уравнению , является окружность единичного радиуса. Верхняя часть этой окружности соответствует функции , нижняя часть окружности определяется функцией .

Теор. Пусть непрерывная функция имеет в окрестности точки непрерывные производные и при этом , , тогда существует прямоугольник в котором функция определяет как неявную функцию . Функция - непрерывно дифференцируема на интервале и .