Формализованная постановка задачи.

Введем обозначения:

– виды инструмента ();
– типоразмер инструмента в пределах вида ();
– годовая потребность предприятия в j-ом типоразмере i-ого инструмента, шт;
– количество j-ого типоразмера i-го вида инструмента, поступающего от инструментальных заводов, шт;
– количество j-ого типоразмера i-го вида инструмента, поступающего от предприятий-смежников, шт;
– количество j-ого типоразмера i-го вида инструмента собственного производства, шт;
– цена j-ого типоразмера i-го вида инструмента, поступающего от инструментальных заводов, руб;
– цена j-ого типоразмера i-го вида инструмента, поступающего от предприятий-смежников, руб;
– цена j-ого типоразмера i-го вида инструмента собственного производства, руб;
– норма расхода материала на изготовление j-ого типоразмера i-го вида инструмента собственным производством, кг;
– норма времени выполнения работ по изготовлению j-ого типоразмера i-го вида инструмента, час/шт;
– объем средств, выделенных для приобретения инструмента у инструментальных заводов, руб;
– объем средств, выделенный для приобретения инструмента у предприятий-смежников, руб;
– количество j-ого типоразмера i-го вида инструмента, которое могут поставить инструментальные заводы, шт;

– количество j-ого типоразмера i-го вида инструмента, которое могут поставить предприятия-смежники, шт.

Критериями задачи являются:
– величина денежных затрат предприятия на приобретение нужных видов инструмента, руб;
– величина материалоёмкости изготовления инструментов собственным производством предприятия, кг;
– величина трудоемкости изготовления инструментов собственным производством предприятия, час;
– сумма взвешенных значений названных выше критериев.

Требуется определиться такие , и , которые бы обеспечили минимальное значение каждого из названных выше критериев, а именно:

 

 

 

.

При следующих ограничениях:

,

,

 

 

 

Расчет оптимальных планов удовлетворения годовых потребностей предприятия в инструменте поставками инструментальных заводов, предприятий-смежников и собственным инструментальным производством предприятия по названным выше критериям и заданным исходным данным можно осуществить путем решения задач линейного программирования посредством пакета прикладных программ Excel на персональном компьютере, используя Программный продукт и инструкцию по работе с ним, разработанные в 2018 г. студентом группы ИУ1–103 МГТУ им. Н.Э. Баумана – Ермаковым Иваном Юрьевичем.

 

Возможны и другие варианты постановки задачи оптимального удовлетворения годовой потребности предприятия в инструменте. Например, можно рассматривать множество конкретных специализированных предприятий-изготовителей инструмента и предприятий-смежников (k – источник поставки инструмента: k= 1,…,(K -1)– сторонние поставщики, k=K – собственное инструментальное производство машиностроительного предприятия), а в качестве критерия оптимизации рассматривать сумму величин цена/качество каждого j -го типоразмера i -го вида инструмента при удовлетворении годовой потребности данного предприятия в инструментах. Тогда целевой функцией задачи является достижение минимальной величины суммы соотношений цена/качество каждого j -го типоразмера i -го вида инструмента при удовлетворении годовой потребности данного предприятия в инструментах – C_w, а w_kij (k= 1,…, K) – интегральный показатель качества функционирования j -го типоразмера i -го вида инструмента k -го источника удовлетворения годовой потребности; x_kij^ДОП – согласованное со сторонним k -ым поставщиком возможное для закупки количество j -го типоразмера i -го вида инструмента, штуки; z_Kij^ДОП – возможное для собственного изготовления количество j -го типоразмера i -го вида инструмента, штуки).

Следовательно, требуется определить такие значения x_kij⁰, z_Kij⁰, которые обеспечивают достижение названной целевой функции в условиях соответствующих ограничений, т.е. требуется найти

(1)

при следующих ограничениях:

x_kij , z_Kij для каждого k, i, j; (2)

x_kij x_kij^ДОП для каждого k= 1,…, (K- 1 ), i, j; (3)

x_kij + z_Kij = P_ij для каждого i, j. (4)

Алгоритм нахождения возможного варианта оптимального решения модели (1) – (4) может представлять собой задачу прямого счета и быть следующим.

1. По каждому j -му типоразмеру i -го вида инструмента k -го источника удовлетворения годовой потребности вычислить:

Q_kij = l_kij /w_kij для k= 1,…, (K- 1 ); Q_kij =s _kij /w_kij для k=K.

2. Упорядочить внутри i -х видов инструмента j -е типоразмеры k -х источников удовлетворения годовой потребности по возрастанию Q_kij.

3. Последовательно, пока P_ij 0, включать x_kij в заявку на закупку количеств j -го типоразмера i -го вида инструмента, поступающего на предприятие от k -го источника удовлетворения годовой потребности с учетом согласованного для закупки количества j -го типоразмеров i -го вида инструмента – x_kij^ДОП, а z_Kij – в заявку на собственное изготовление инструмента. При этом:

Для k K, если P_ij x_kij^ДОП, то x_kij:= x_kij^ДОП, С_kij:= l_kij x_kij, P_ij:= P_ij – x_kij;

иначе (P_ij < x_kij^ДОП) x_kij:= P_ij, С_kij:= l_kij x_kij, P_ij:= 0.

Для k = K, если P_ij z_Kij^ДОП, то z_Kij:= z_Kij^ДОП, C_Kij:= s_Kij z_Kij, P_ij:= P_ij – z_Kij;

иначе (P_ij < z_Kij^ДОП) z_Kij:= P_ij, C_Kij:= s_Kij z_Kij, P_ij:= 0.

4. Вычислить суммарную величину затрат предприятия на удовлетворения годовой потребности в инструментах за счет поставок со стороны и собственного производства – C_w¹, обеспечивающих достижение заданной целевой функции – минимизации суммы величин цена/качество каждого j -го типоразмера i -го вида инструмента при удовлетворении годовой потребности данного предприятия в инструментах:

C_w¹ .

Пример. Рассмотрим условный пример нахождения оптимального решения модели (1) – (4) по приведенному выше алгоритму для машиностроительного предприятия имеющего годовые потребности в резцах токарных проходных упорных с пластинами из твердого сплава двух типоразмеров: 20х12х120 и 25х16х140. Исходные данные для примера определения номенклатуры закупаемых и производимых собственным инструментальным производством инструментов, обеспечивающей минимизацию соотношения цена/качество для предприятия, приведены в Таблице (сведения о годовых потребностях, ценах и поставщиках инструментов условные).

 

 

Таблица

Исходные данные для примера решения задачи

 

	Наименование и типоразмер инструмента	Годовая потреб- ность предпри-тия (шт.)	Производители (поставщики) инструментов (собственное изготовление и поставки со стороны)
Наименование изготовителя, марка материа- ла	Возмож- ный раз- мер по- ставки за год (шт.)	Цена за штуку (руб.)	Показатель качества функционирования Наимено- Размер- вание ность
1.	Резец токарный проходной упорный с пласт. из твердого спла-ва, 20х12х120		Храпуновский инструменталь-ный завод, Т15К6, ВК8			Стойкость	45 мин
	- ” -	- ” -	НАНОПРОМ, Т15К6, ВК8		66,3	Стойкость	45 мин
	- ” -	- ” -	Биржа станоч-ников, Т15К6, ВК8			Стойкость	30 мин
	- ” -	- ” -	BS GROUP, Т15К6, ВК8		54.76	Стойкость	35 мин
	- ” -	- ” -	Собственное изготовление, Т15К6, ВК8			Стойкость	40 мин
2.	Резец токарный проходной упорный с пласт. из твердого спла-ва, 25х16х140		Храпуновский инструменталь-ный завод, Т15К6, ВК8			Стойкость	45 мин
	- ” -	- ” -	НАНОПРОМ, Т15К6, ВК8		97.5	Стойкость	45 мин
	- ” -	- ” -	Биржа станоч-ников, Т15К6, ВК8			Стойкость	30 мин
	- ” -	- ” -	BS GROUP, Т15К6, ВК8		115.78	Стойкость	35 мин
	- ” -	- ” -	Собственное изготовление, Т15К6, ВК8			Стойкость	40 мин

 

Последовательность нахождения оптимального варианта примера решения задачи:

1. По каждому j -му типоразмеру i -го вида инструмента k -го источника удовлетворения годовой потребности вычислить:

Q_kij = l_kij /w_kij для k= 1,…, (K- 1 ); Q_kij = s_kij /w_kij для k=K.

Для поставщиков резцов 20х12х120 и 25х16х140:

Храпуновский инстр. завод: Q₁₁₁=l₁₁₁/w₁₁₁=59/45=1,31 и Q₁₁₂= l₁₁₂/w₁₁₂=85/45=1,89.

НАНОПРОМ: Q₂₁₁=l₂₁₁/w₂₁₁ =66,3/45=1,47 и Q₂₁₂=l₂₁₂/w₂₁₂=97,5/45=2,17.

Биржа станочников: Q₃₁₁=l₃₁₁/w₃₁₁ =90/30=3 и Q₃₁₂=l₃₁₂/w₃₁₂=99/30=3,3.

BS GROUP: Q₄₁₁=l₄₁₁/w₄₁₁=54,76/35=1,56 и Q₄₁₂=l₄₁₂/w₄₁₂=115,78/35=3,31.

Собственное изготовление: Q₅₁₁=s₅₁₁/w₅₁₁=80/40=2 и Q₅₁₂=s₅₁₂/w₅₁₂=90/40=2,25.

2. Упорядочить внутри i -х видов инструмента j -е типоразмеры k -х источников удовлетворения годовой потребности по возрастанию Q_kij.

Для резцов 20х12х120:

Q₁₁₁=1,31, Q₂₁₁ =1,47, Q₄₁₁ =1,56, Q₅₁₁=2, Q₃₁₁ =3. Следовательно, закупать эти резцы надо в последовательности: Храпуновский инстр. завод, НАНОПРОМ, BS GROUP, Собственное изготовление, Биржа станочников.

Для резцов 25х16х140:

Q₁₁₂=1,89, Q₂₁₂=2,17, Q₅₁₂=2,25, Q₃₁₂=3,3, Q₄₁₂=3,31. Следовательно, закупать эти резцы надо в последовательности: Храпуновский инстр. завод, НАНОПРОМ, Собственное изготовление, Биржа станочников, BS GROUP.

3. Последовательно, пока P_ij 0, включать x_kij в заявку на закупку количества j -го типоразмера i -го вида инструмента, поступающего на предприятие от k -го источника удовлетворения годовой потребности с учетом согласованного для закупки возможного количества j -го типоразмера i -го вида инструмента – x_kij^ДОП, а z_Kij – в заявку на собственное изготовление инструмента.

При этом:

Для k K, если P_ij x_kij^ДОП, то x_kij:= x_kij^ДОП, С_kij:= l_kij x_kij, P_ij:= P_ij – x_kij;

иначе (P_ij < x_kij^ДОП) x_kij:= P_ij, С_kij:= l_kij x_kij, P_ij:= 0.

Для k = K, если P_ij z_Kij^ДОП, то z_Kij:= z_Kij^ДОП, C_Kij:= s_Kij z_Kij, P_ij:= P_ij – z_Kij;

иначе (P_ij < z_Kij^ДОП) z_Kij:= P_ij, C_Kij:= s_Kij z_Kij, P_ij:= 0.

Резцы 20х12х120:

P₁₁=3200, P₁₁=3200 x₁₁₁^ДОП=1500, то x₁₁₁:=1500, C₁₁₁:=l₁₁₁ x₁₁₁=59 х 1500=88500, P₁₁:= P₁₁ – x₁₁₁=3200 – 1500=1700.

P₁₁ = 1700, P₁₁ = 1700 x₂₁₁^ДОП = 1000, то x₂₁₁:=1000, C₂₁₁:=l₂₁₁ x₂₁₁=66,6 х 1000=66600, P₁₁:= P₁₁ – x₂₁₁=1700 – 1000=700.

P₁₁ =700, P₁₁ =700< x₄₁₁^ДОП=1000, то x₄₁₁:=700, C₄₁₁:=l₄₁₁ x₄₁₁ = 54,76 х 700=38332, P₁₁:= 0.

Cледовательно, надо закупить у Храпуновского инструментального завода 1500 штук, у НАНОПРОМа 1000 штук, у BS GROUP 700 штук.

Резцы 25х16х140:

P₁₂ = 3000, P₁₂ = 3000 x₁₁₂^ДОП=1300, то x₁₁₂:=1300, C₁₁₂:=l₁₁₂ x₁₁₂ = 85 х 1300=110500, P₁₂:= P₁₂ – x₁₁₂=3000 – 1300=1700.

P₁₂ = 1700, P₁₂ = 1700 x₂₁₂^ДОП=800, то x₂₁₂:=800, C₂₁₂:=l₂₁₂ x₂₁₂ = 97,5 х 800=78000, P₁₂:= P₁₂ – x₂₁₂=1700 – 800=900.

P₁₂ =900 (P₁₂ < z₅₁₂^ДОП=3000), z₅₁₂:= P₁₂ =900, C₅₁₂:=s₅₁₂ z₅₁₂=90 x 900=81000, P₁₂:=0.

Следовательно, надо закупить у Храпуновского инструментального завода 1300 штук, у НАНОПРОМа 800 штук, Собственное изготовление – 900 штук.

4. Вычислить суммарную величину затрат предприятия на удовлетворения годовой потребности в инструментах за счет поставок со стороны и собственного производства – C_w¹, обеспечивающих достижение заданной целевой функции – минимизации суммы величин цена/качество каждого j -го типоразмера i -го вида инструмента при удовлетворении годовой потребности данного предприятия в инструментах:

C_w¹ = 88500+110500+66600+78000+38332+81000 = 462932 руб.

Если не известны функциональные показатели качества инструментов, которые можно закупать или изготавливать на предприятии, то вместо цели минимизации суммы величин цена/качество каждого j -го типоразмера i -го вида инструмента при удовлетворении годовой потребности данного предприятия в инструментах целесообразно осуществлять минимизацию общих затрат на удовлетворение годовых потребностей предприятия в инструментах:

(5)

при ограничениях (2) – (4).

 

Логика построения алгоритма нахождения возможного варианта оптимального решения этой модели аналогична, используемой в приведенном выше алгоритме для модели (1) – (4).

На практике часто различием в ценах на идентичный инструмент, изготовленный на различных предприятиях смежниках и собственным производством, можно пренебречь. При этом, если допустить, что номенклатуру поставок инструмента смежниками можно сформировать выборкой из номенклатуры собственного производства инструмента, то модель оптимального удовлетворения годовой потребности предприятия в i –ых видах инструментов можно представить в виде:

(6)

при ограничениях:

x_ij 0, z_ij 0 для каждого j; (7)

x_ij + z_ij = P_ij для каждого j; (8)

C_1im для m=1,…,M_i, ( – диапазон типоразмеров инструмента); , ; J_i , g, q=1,…,M_i, g q. (9)

Где: C_1im – согласованный с инструментальными заводами возможный объем закупок m -го диапазона типоразмеров инструмента (m=1,...,M_i) i -го вида, руб.;

– цена j-ого типоразмера i-го вида инструмента, поступающего от инструментальных заводов, руб.

Для модели (6) – (9) предлагается следующий алгоритм прямого счета нахождения оптимального решения:

1. По каждому j -му типоразмеру i -го вида инструмента вычислить:

Q_ij =(s_ij – l_ij)/ l_ij.

2. Упорядочить внутри i -х видов инструмента j -е типоразмеры по убыванию Q_ij.

3. Последовательно включать в заявку на закупку количеств j -го типоразмера i -го вида инструмента, поступающего на предприятие от инструментальных заводов с учетом выделенных сумм на приобретение m -х диапазонов типоразмеров инструмента C_1im, а z_ij – в заявку на собственное изготовление инструмента. При этом:

если C_1im >0 и l_ij P_ij C_1im, то x_ij:= P_ij, C_1ij:= l_ij P_ij, C_1im:= C_1im – C_1ij;

если C_1im >0 и l_ij P_ij > C_1im, то (где [ ] – ближайшее меньшее целое число), C_1ij:= l_ij x_ij, z_ij:=P_ij – x_ij, C_3ij:= s_ij z_ij, C_1im:=0;

если C_1im=0 то x_ij:=0, z_ij:=P_ij, C_3ij:= s_ij z_ij.

4. Вычислить:

.