Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей.

Практическое занятие №3.

Геометрическая вероятность.

12.31 На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.

12.32 На отрезок длины числовой оси наудачу поставлена точка . Найти вероятность того, что меньший из отрезков и имеет длину, большую, чем .

12.33 На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадёт также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

12.34 Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника.

12.35 В прямоугольном броневом щите размером 2 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура размером 10 на 10 см. Найти вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равно возможно.

12.36 Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечёт ни одной из прямых.

12.38 На отрезке длины наудачу поставлены две точки и , причём . Найти вероятности того, что: а) длина отрезка меньше длины отрезка ; б) длина отрезка окажется меньше, чем .

12.39 Наудачу взяты два положительных числа и , каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, произведение будет не больше единицы, а частное не больше двух.

12.40 Паркетный пол составлен из прямоугольных плиток размерами . Определить вероятность того, что упавшая на пол монета полностью окажется на одной плитке, если ее диаметр равен 2 см.

Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей.

В задачах 12.41-12.43 используя свойства вероятности, найти вероятности указанных событий.

12.41 Найти вероятность , если известны вероятности , =0.18.

12.42 Найти вероятности , , , если известны вероятности , , .

12.43 Найти вероятность , если известны вероятности , , .

12.48 В первом ящике 2 красных и 10 синих шаров, во втором ящике 8 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров красный, а другой синий.

12.49 Прибор, работающий в течение суток, состоит из трёх узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0.9, второго 0.95, третьего 0.85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор выйдет из строя.

12.50 В первой урне находятся 1 белый и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных шара, в третьей – 3 белых и 2 черных шара. Из каждой урны взяли по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров будет 1 белый и 2 черных?

12.52 В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по два шара. Какова вероятность того, что: а) все шары белые; б) все шары чёрные.

12.53 Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали, равна 0.9. Определить вероятность того, что за три смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали.

12.54 Для двух аппаратов вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа составляет для первого – 0.75; для второго – 0.8. Какова вероятность того, что оба аппарата будут бесперебойно работать на протяжении трех часов?

12.55 На четырёх одинаковых карточках написаны буквы: «Е», «С», «Т», «Т». Карточки перемешивают и раскладывают наудачу в ряд слева направо. Найти вероятность того, что при этом получится слово «ТЕСТ».

12.56 Из 10 карточек азбуки составлено слово «СТАТИСТИКА». Из этих карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово «ТАКСИ».

12.58 Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике 0.6, во втором – 0.7, в третьем – 0.8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) хотя бы в одном справочнике; г) во всех справочниках.

12.59 Три стрелка стреляют по разу в одну мишень независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.6, вторым - 0.7, третьим - 0.75. Найти вероятности: а) ровно одного попадания в цель; б) хотя бы одного попадания в цель.

12.60 А, В, С – компоненты электронной системы. Вероятность бесперебойной работы каждого из компонентов в течение года равна 0.95, 0.9, 0.93, соответственно. Какова вероятность работы всей системы без отказов на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы: а) работали все три компонента; б) работали хотя бы два из трёх компонентов.

12.61 Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0.95, во второе отделение – 0.9 и в третье – 0.8. Найти вероятности того, что: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

12.62 Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0.7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0.8. На первом станке изготовлены две детали, на втором – три. Найти вероятности того, что: а) все изготовленные детали - первосортные; б) хотя бы одна деталь – первосортная.

12.64 Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

12.65 При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0.6. Найти вероятности того, что: а) двигатель начнёт работать при третьем включении зажигания;

б) для запуска двигателя придётся включать зажигание не более трёх раз.

12.67 Охотник выстрелил 3 раза по удалявшейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найти вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет 2 раза.

12.68 Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только 24. Какова вероятность сдать зачет, если для этого надо ответить на случайно доставшийся вопрос, а в случае неудачи ответить на дополнительный вопрос, предложенный преподавателем случайным образом?

Ответы.

12.31 0.5 12.32 12.33 0.75 12.34а) б) 12.35 12.36 12.37 12.38а) 0.5 б) 0.75 12.39 12.40 12.41 0.9 12.42 , , .