ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА.

ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

· Закон Кулона:

где F - модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов величиной q ₁ и q₂, r - расстояние между зарядами, e - диэлектрическая проницаемость среды, e₀ - электрическая постоянная.

· Напряженность электрического поля:

,

,

где - сила, действующая на точечный заряд q₀, помещенный в данную точку поля.

· Напряженность поля точечного заряда (по модулю):

где r - расстояние от заряда q до точки, в которой определяется напряженность.

· Напряженность поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей):

где - напряженность в данной точке поля, создаваемого i-тым зарядом.

· Модуль напряженности поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:

,

где - поверхностная плотность заряда.

· Модуль напряженности поля плоского конденсатора в средней его части:

.

Формула справедлива, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

· Напряженностьполя, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от нити или оси цилиндра по модулю:

,

где - линейная плотность заряда.

· Поток вектора напряженности электрического поля:

а) через произвольную поверхность, помещенную в неоднородное поле

,

где a - угол между вектором напряженности и нормалью к элементу поверхности, dS - площадь элемента поверхности, E_n - проекция вектора напряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле:

,

в)через замкнутую поверхность:

,

где интегрирование ведется по всей поверхности.

Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов q₁, q_2,..., q_n, охватываемых этой поверхностью, деленной на e × e₀.

.

· Потенциал электрического поля:

j = ,

где q_о - точечный положительный заряд, помещенный в данную точку поля, W - потенциальная энергия заряда q_о в данной точке поля.

· Потенциальная энергия системы двух точечных зарядов Q и q:

W = ,

где r - расстояние между зарядами. Потенциальная энергия положительна при взаимодействии одноименных зарядов и отрицательна при взаимодействии разноименных.

· Потенциал электрического поля, созданного точечным зарядом Q на расстоянии r:

j =

· Потенциал электрического поля, созданного металлической сферой радиуса R, несущей заряд Q:

j = (r ≤ R; поле внутри и на поверхности сферы),

j = (r > R; поле вне сферы).

· Потенциал электрического поля, созданный системой n точечных зарядов:

Согласно принципу суперпозиции электрических полей потенциал электрического поля, созданный системой n точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов j₁, j₂,…, j_n, создаваемых зарядами q₁, q₂,..., q_n в данной точке поля

j = .

· Связь потенциалов с напряженностью:

а) в общем случае = - qradj или = ;

б) в случае однородного поля

Е = ,

где d - расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами j₁ и j₂ вдоль силовой линии;

в) в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией

где производная берется вдоль силовой линии.

· Работа, совершаемая силами поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2:

A = q (j₁- j₂),

где (j₁- j₂) - разность потенциалов начальной и конечной точек поля.

· Электроемкость уединенного проводника:

,

где q - заряд на поверхности проводника, j - потенциал проводника.

· Электроемкость конденсатора:

,

где (j₁ - j₂) = U - разность потенциалов (напряжение) между обкладками конденсатора, q - модуль заряда на одной обкладке конденсатора.

· Электроемкость плоского конденсатора в системе СИ:

,

где S - площадь одной пластины, d - расстояние между обкладками.

· Электроемкость проводящего шара (сферы) в СИ:

с = 4 pee₀R,

где R - радиус шара, e - относительная диэлектрическая проницаемость среды, e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м.

· Емкость батареи из n конденсаторов, соединенных последовательно:

.

· Емкость батареи из n конденсаторов, соединенных параллельно:

с = .

Последние две формулы применимы для определения емкости многослойных конденсаторов. Расположение слоев параллельно пластинам соответствует последовательному соединению однослойных конденсаторов; если же границы слоев перпендикулярны пластинам, то, считают, что имеется параллельное соединение однослойных конденсаторов.

Примеры решения задач

Пример 1. Два точечных заряда 9 q и - q закреплены на расстоянии l = 50 см друг от друга. Третий заряд q₃ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда q₃, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда q₃ равновесие будет устойчивым?

Дано: q₁= 9q q₂ = -q l = 0,5 м	Решение: Заряд q₃ находится в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это значит, что на заряд q₃ должны действовать две силы, равные по модулю и
r -?

противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (рис. 1) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд q₃ – положительный.

На участке I на заряд q₃ будут действовать две противоположно направленные силы и Сила , действующая со стороны заряда q₁, в любой точке этого участка больше силы , действующей

q₁q₂

q₃

q₁ q₂

III

q₁q₂

q₃

l + x

Рис. 1

со стороны заряда q₂, так как больший заряд q₁ находится всегда ближе к заряду q₃, чем меньший (по модулю) заряд q₂. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II обе силы и направлены в одну сторону - к заряду q₂. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III силы и направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший заряд q₂ всегда находится ближе к заряду q₃, чем больший заряд q₁. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т. е.

. (1)

Пусть х и l + х — расстояние от меньшего и большего зарядов до заряда q_3.. Выражая в равенстве (1) и в соответствии с законом Кулона, получим:

⟹ . (2)

Решая квадратное уравнение (2) получим два корня:

Корень х₂ не удовлетворяет физическому условно задачи (в этой точке силы и хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону).

Определим знак заряда q₃, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда q₃ в двух случаях: когда заряд положителен и отрицателен.

Если заряд q₃ положителен, то при смещении его влево обе силы и возрастают. Так как сила возрастает медленнее, то результирующая сила, действующая на заряд q₃, будет направлена в ту же сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. влево. Под действием этой силы заряд q₃ будет удаляться от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда q₃ вправо. Сила убывает быстрее, чем . Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд q₃ отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил и , но сила возрастает медленнее, чем ,

т. е. . Результирующая сила будет направлена вправо. Под ее действием заряд q₃ возвращается к положению равновесия. При смещении q₃ вправо сила убывает быстрее, чем , т.е. , результирующая сила направлена влево и заряд q₃ опять будет возвращаться в положение равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда q₃ несущественна.

Пример 2. В вакууме образовалось скопление зарядов в виде тонкого длинного цилиндра с объемной плотностью r =1·10^-10 Кл/м³ и радиусом R = 10 см. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от оси цилиндра на расстоянии 5 см и 15 см, а также вид зависимости Е (r).

Дано: R = 10 см r=1·10^-10 Кл/м³ r₁ = 0,05 м r₂ = 0,15 м ε = 1 Е₁=? Е₂=? Е(r) =?

Решение: Через точки 1 и 2 проведем в виде цилиндров радиусом r ₁ и r ₂ замкнутые поверхности (рис.2). Поток вектора напряженности, пронизывающий боковую поверхность цилиндра радиуса r ₁, равен: N_E₍₁₎ = E ₁×2 pr ₁ × l, (1) где l - длина образующей цилиндра. Поток через основания цилиндра равен нулю. По теореме Гаусса:

Рис.2

● 1

r₂

r₁

●2

(2)

Учитывая уравнение (1) получим:

(3)

E ₁×2 pr ₁× l =

Точка 1 находится внутри цилиндра радиуса R. Поэтому для любой точки с имеем:

(4)

E (r) =

т.е. напряженность линейно растет с увеличением расстояния.

Поток напряженности, пронизывающий поверхность второго

(5)

цилиндра, находится аналогично:

По теореме Гаусса N_E₍₂₎ = = . (6)

Приравнивая правые части выражений (5) и (6), найдем:

E₂ = . (7)

Зависимость Е (r) при r > R имеет вид:

(8))

E (r) =

Видно, что напряженность убывает пропорционально . При r = R

(9)

E_R =

Из выражения (9) видно, что на поверхности цилиндра напряженность имеет максимальную величину.

Проверим единицы напряженности

[ E ] = = = .

Произведем вычисления учитывая, что

E₂ =

Графически зависимость Е (r) представлена на рис.3.

Таблица 2

r	0	R	2R	3R	4R	5R	R 6	7R
Е	0	E_R	E_R/2	E_R/3	E_R/4	E_R/5	E_R/6	E_R/7

Е_R

Рис.3

0 R 2R 3R 4R 5R 6R 7R r 0 R 2R 3R 4R 5R 6R 7R r

Пример 3. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ₁ =10⁶ м/с, чтобы скорость его возросла в 2 раза.

Дано: υ₁ =10⁶ м/с υ₂/ υ₁= 2 Решение: Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов U:

U-?

A=eU. (1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

(2)

где Т₁ и T₂ — кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m — масса электрона; -

начальная и конечная скорости электрона.

Приравняв правые части равенства (1) и (2), и учитывая, что υ₂ =2 υ₁ получим:

(3)

Отсюда искомая разность потенциалов равна:

(4)

Произведем вычисления, учитывая, что масса электрона , а заряд

Пример 4. Как изменится емкость плоского воздушного конденсатора, если между его обкладками поместить стеклянную пластину (e = 6), толщина которой равна половине расстояния между обкладками?

Решение:

ε = 6

Если между стеклом и воздухом поместить очень тонкий слой проводника, это не изменит напряженности поля ни в стекле, ни в воздухе, поэтому не изменится и разность потенциалов между обкладками конденсатора. Но теперь конденсатор AB можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора AD и DB (рис.4).
А D В Рис. 4

Емкость плоского конденсатора AB до введения стеклянной пластины равна:

c₀ = , (1)

где S - площадь одной пластины, d - расстояние между обкладками

e - диэлектрическая проницаемость среды, e₀ - дэлектрическая постоянная.

Тогда с учетом формулы (1) емкости конденсаторов с_AD =2 c₀, а c_DB = 2e·с₀

Емкость конденсатора AB после введения стеклянной пластины будет равна c'. Эту емкость можно найти по формуле:

= или = = . (2)

Выразив c' из (2), получим:

c' = = = 1,7c₀. (3)

Из выражения (3) видно, что емкость конденсатора AB увеличилась в 1,7 раза.

Задачи для самостоятельного решения

001. Шарик массой m = 1г, несущий заряд q = 98 нКл, подвешен в воздухе на тонкой шелковой нити. При приближении к нему заряда противоположного знака на расстояние l = 4 см нить отклонилась от вертикального направления на угол 45⁰. Определить величину этого заряда.

q = 18 нКл

002. На одинаковых капельках воды находится по одному лишнему электрону. Каков радиус капелек, если сила электростатического отталкивания уравновешивает силу гравитационного притяжения?

R = 16,5 мкм

003. На нити подвешен заряженный шар массой m = 300 г. Когда к нему поднесли снизу на расстояние l = 40 см заряженный таким же зарядом шар радиусом R = 2 см, то сила натяжения нити умень-шилась в четыре раза. Найти поверхностную плотность заряда на поднесенном шаре.

σ = 125 мкКл/м²

004. Сплошная металлическая сфера радиусом R = 20 см несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью σ = 1 нКл/м². Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии l = 36 см от центра сферы.

Е = 34,5 В/м

005. Сплошная металлическая сфера радиусом R = 20 см несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью

σ = 1 нКл/м². Определить потенциал электрического поля в центре сферы и в точке, находящейся на расстоянии l = 36 см от ее центра.

φ₁ = 0; φ₂= 12,42 В

006. Электрон, пролетая в электрическом поле путь от точки А к точке В, увеличил свою скорость от υ₁ = 1∙10⁶ м/с до υ₂ = 3∙10⁶ м/с. Найти разность потенциалов между точками А и В.

φ₁ - φ₂ = 22,75 В

007. Какая работа совершается при перемещении точечного заряда q = 0,2 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии

l = 1 см от поверхности сферы радиусом R = 1 см с поверхностной плотностью заряда σ = 1 нКл/см²?

А = - 113мкДж

008. Определить электроемкость конденсатора, для изготовления которого использовали ленту алюминиевой фольги длиной l = 157 см и шириной b = 90 мм. Толщина парафинированной бумаги d = 0,1 мм, а ее диэлектрическая проницаемость ε = 2.

С = 25 нФ

009. Как изменится емкость плоского воздушного конденсатора, если между его обкладками поместить стеклянную пластину, диэлектрическая проницаемость которой ε = 6, длина которой равна половине длины пластин конденсатора?

Увеличится в 3,5 раза

010. Два одинаковых конденсатора переменной емкости соединены в блок. В каких пределах можно изменять емкость этого блока? Емкость каждого конденсатора изменяется от 15 до 250 пФ.

От 7,5 пФ до 500 пФ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

· Сила тока:

I = q/t,

где q - заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

· Плотность тока:

j = I/S,

где S - площадь поперечного сечения проводника

· Закон Ома:

а) для участка цепи, не содержащего ЭДС:

где j₁ - j₂ = U - разность потенциалов (напряжений) на концах участка цепи, R - сопротивление участка;

б) для замкнутой (полной) цепи:

где R - внешнее сопротивление цепи, r - внутреннее сопротивление цепи, – эдс источника.

· Сопротивление проводника:

где r - удельное сопротивление проводника, - длина проводника, S - площадь поперечного сечения проводника.

· Сопротивление системы проводников:

а) при последовательном соединении:

б) при параллельном соединении:

где R_i - сопротивление i -того проводника.

· Работа электрического тока:

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего эдс, t – время.

· Закон Джоуля-Ленца:

Q = I²Rt.

Примеры решения задач

Пример 5. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20Ом нарастает в течение времени Dt = 2 с по линейному закону от I₀= 0до I = 6 А (см.рис.5). Определить теплоту Q, выделившуюся в этом проводнике за вторую секунду.

Дано: Dt = 2 с I₀ = 0 A I = 6 А Q -? Решение: I, A

Рис.5

0 1 2 t, c

Закон Джоуля-Ленца в виде Q = I²Rt справедлив для случая постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде:

dQ = I²Rdt. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае сила тока равна:

I = k t, (2)

где k - коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени:

. (3)

С учетом (2) формула (1) примет вид

. (4)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени Dt, выражение (4) надо проинтегрировать в пределах от t₁ до t₂:

(5)

При определении теплоты, выделившейся за вторую секунду, пределы интегрирования t₁= 1с, t₂ = 2 c и, следовательно, Q равно:

.

Пример 6. В цепь, состоящую из аккумулятора и сопротивления R= 10 Ом, включают вольтметр, сначала последовательно, затем параллельно сопротивлению R. Оба показания вольтметра одинаковы. Сопротивление вольтметра R_v= 1000 Ом. Каково внутреннее сопротивление аккумулятора?

Дано: R = 10 Ом R_v = 1000 Ом U₁ = U₂ r =? Решение: Показания вольтметра одинаковы, зна-чит, падение напряжения на вольтметре в первом случае (последовательное соединение), равно падению напряжения на вольтметре и при параллельно включенном сопротивлении во втором случае.

Подсчитаем силу тока и падение напряжения на вольтметре в обоих случаях. Пусть e - эдс аккумулятора, r - его внутреннее сопротивление.

1.Ток в цепи при последовательном включении вольтметра (рис.6 а) равен:

Падение напряжения на вольтметре равно:

2. Ток в цепи при параллельном включении вольтметра (рис.6 б) равен:

Рис. 6

R

R

а

б

r

r

Общий ток в цепи при параллельном включении вольтметра будет равен сумме токов, проходящих через сопротивления R и R_v:

Подставляя уравнение (4) в (3) получим:

После преобразований найдем выражение для :

Условие U₁=U₂ означает, что уравнение (2) равно уравнению (6).

Подставляя численные значения физических величин в формулу (8) найдем внутреннее сопротивление аккумулятора:

ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА.

Поиск по сайту