- Предел и непрерывность.
Задачи вычислительного характера
1. Дана последовательность
Ограничена ли данная последовательность? Найти 
или доказать, что он не существует; найти 
.
2. Дана функция
. Найти точки разрыва функции 
, описать тип разрыва. Если таких точек нет, объяснить почему.
3. Укажите какой-нибудь интервал
, на котором для данной функции существует обратная функция.
4. Найти область определения функции
, где 
заданные функции.
Задачи и вопросы теоретического характера
Функцияопределена формулой.
1. Будет ли функция
непрерывной, если и 
непрерывны?
2. Будет ли монотонной, если и монотонны?
3. Каков характер монотонности функции, если
и возрастающие;
и убывающие;
одна из них возрастающая, а другая убывающая.
4. Равносильны ли следующие два утверждения: а) не имеет конечного предела
при
; б) 
при
5. Равносильны ли следующие два утверждения: а) непрерывна в точке 
;
б)
Производная и дифференциал.
Задачи вычислительного характера
1. Найти на графике функции точку, в которой касательная параллельна (перпендикулярна) данной прямой.
2..Даны две дифференцируемые функции. Найти тангенс угла, образованного графиками этих функций в точке их пересечения.
3. Дифференцируема ли в заданной точке?
4. Используя дифференциал подходящей функции, вычислить приближенно одно из выражений вида: 
,
5. Разложить заданную функцию по формуле Тейлора (выписать 3-4 слагаемых).
Задачи и вопросы теоретического характера
1. Дифференцируема ли функция 
в точке , если дифференцируема
в точке и 
?
2. Пусть 
и 
/ Обозначим 
Сравните 
и 
при 
.
3. Тот же вопрос, если 
.
4. Приведите пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке.
5. Приведите пример функции, которая не дифференцируема в некоторой точке , но при этом ее график имеет касательную в точке 
.
6. Останется ли верной формула 
, если в нее подставить вместо 
дифференцируемую функцию 
?
С. Исследование функции.
Задачи вычислительного характера
1. Функция задана явно или параметрически. Требуется найти:
точки локального экстремума функции;
точку на графике, в которой производная имеет локальный экстремум;
точку на графике, в которой касательная не существует;
интервалы выпуклости функции;
асимптоты (или доказать, что их нет).
2. В какой точке график функции 
имеет наибольшую кривизну?
3. Есть ли на графике точка, в которой кривизна наименьшая (наибольшая)?
4. Уравнение касательной плоскости в заданной точке.
Задачи и вопросы теоретического характера
1. Пусть дифференцируемая на (a; b) функция имеет на (a; b) ровно две точки минимума. Сколько при этом может быть точек максимума?
2. Верно ли, что из 
следует 
? А обратное утверждение?
3. Будет ли четной производная четной функции? Тот же вопрос для нечетной.
4. Верно ли обратное утверждение?
5. Будет ли периодической 
, если периодическая функция?
6. Будет ли периодической , если известно, что периодическая?
7. Будет ли монотонной в малой окрестности точки , если 
при n =1, 2, а 
? Указание: нужно использовать формулу Тейлора.
8. Будет ли монотонной в малой окрестности точки , если при n =1, 2, 3, а 
?
9. Те же вопросы относительно выпуклости .
10. 
, где
эквивалентные бесконечно малые при 
Сравните 
11. 
Сравните
12. 
13. Пусть графики дифференцируемых функций 
и 
имеют общую точку 
и в ней - общую касательную. Чему тогда равен 
при 
?
14. Пусть прямая 
пересекает график дифференцируемой функции в точке . Обозначим 
. Очевидно, при любом значении коэффициента 
функция 
при . При каком значении бесконечно малая 
будет иметь более высокий порядок, чем 
?
15. Приведите пример функции, у которой график имеет разные асимптоты на 
и на 
.
16. Чему равна кривизна графика в точке перегиба?
17. Дана система уравнений
При каком условии система задает ровно одну функцию 
?
При каком условии система задает ровно две функции 
и 
?
18. Дана функция 
, точка 
и вектор 
. Вычислить 
. При каком векторе эта производная будет иметь наибольшее значение? Найти это значение.
19. Поверхности 
и 
имеют в точке 
общую касательную плоскость. Какому условию удовлетворяют векторы
и 
?