Поведение системы автоматического управления определяется корнями характеристического уравнения, которым, в свою очередь, соответствуют составляющие свободного движения системы, называемые «модами». Если система представлена векторно-матричной моделью, то корни характеристического полинома соответствуют собственным числам матрицы объекта.
Модальное управление — это такое управление, когда достигается требуемый характер переходных процессов за счет обеспечения необходимого расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости. При этом задача сводится к определению коэффициентов соответствующих обратных связей по состоянию объекта.
Это управление применяется тогда, когда система является полностью управляемой.
Пусть полностью управляемый объект описывается следующими уравнениями в векторно-матричной форме:
, (2.1)
где х — n-мерный вектор переменных состояния объекта (n — порядок объекта); u — вектор управления; A, B — матрицы объекта и управления.
Желаемое расположение корней на комплексной плоскости может быть обеспечено введением линейной обратной связи по состоянию,
уравнение которой имеет вид
, (2.2)
где v — новое обозначение вектора задающих сигналов; к — матрица коэффициентов обратных связей.
Исходная система (2.1) и линейная обратная связь по состоянию (2.2) образуют замкнутую систему.
Уравнение этой системы имеет вид
. (2.3)
Характеристическое уравнение полученной замкнутой системы определяется следующим образом:
, (2.4)
где I — единичная матрица размерности nxn; 
- матрица объекта замкнутой системы (2.3).
Поскольку собственные числа матрицы однозначно определяют коэффициенты характеристического полинома, задача может быть сформулирована следующим образом: для управляемой системы (2.3) с характеристическим полиномом (2.4) найти матрицу коэффициентов обратных связей k, чтобы замкнутая система (2.3) имела желаемое распределение корней характеристического полинома (2.4).
|
|
Сформулированная задача называется задачей модального управления, а линейная обратная связь по состоянию называется модальным регулятором.
Процедура расчета коэффициентов матрицы обратных связей k проводится в следующей последовательности. Выбираем желаемое распределение корней характеристического уравнения, то есть выбираем желаемую стандартную форму характеристического полинома замкнутой системы. Находим характеристический полином с помощью формулы (2.4). Коэффициенты этого полинома будут зависеть от неизвестных пока параметров обратных связей k. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях p полиномов, полученных на первом и втором шагах, получаем систему уравнений для определения неизвестных параметров k. Решив ее при известных остальных параметрах системы (матрицы А, B), находим искомые параметры модального регулятора (элементы матрицы k).
Наиболее распространенными из стандартных форм характеристического полинома являются: распределение Баттерворта и биномиальное распределение.