Какие были концепции и как они представлялись
Философские концепции математики различаются тем, как они трактуют природу математических понятий и принципов, логику их происхождения и их связь с представлениями опытных наук. Мы проведем краткое описание основных воззрений на математику, имевших место в истории философии и методологии математики.
Первой ясно выраженной философской концепцией предмета математики был пифагореизм. Отправным пунктом в пифагорейском учении о числе была музыка. Именно в музыке была первые обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе. По преданию, сам Пифагор установил, что приятные слуху созвучия получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки: 1:2, 2:3, 3:4 (см. гл. 6). Это открытие потрясло Пифагора и долго вдохновляло его учеников на поиски новых числовых закономерностей в природе. В числовых отношениях, т. е. в математике, видели пифагорейцы сущность мировой гармонии, ключ к разгадке всех тайн природы, окруженных ореолом мифологии. Вообще, развитие пифагореизма шло от мифологии через философию к науке. Пифагорейская наука была еще слишком близка к мифологии, чем и объясняется царившее в ней "мифологическое начало". Но то, что в математических свойствах пифагорейцы увидели сущность явлений природы, то, что в основе разнородных процессов они обнаружили некоторую пропорциональность, закономерность, выражаемую числом, было выдающимся научным завоеванием. "Подобно тому как число подчинено определенным законам, подчинена им и вселенная; этим впервые высказывается мысль о закономерности вселенной". Математика определяла и общее пифагорейское понимание реальности, которое выражалось в положении «Все есть число».
Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в античной философии. Платон был продолжателем пифагорейского взгляда на природу. У Платона каждое из природных начал соединяется с одним из пяти правильных многогранников: огонь — с тетраэдром, земля — с гексаэдром, вода — с октаэдром, воздух — с икосаэдром. Космос как высшее совершенство имеет форму сферы. Здесь мы наблюдаем первые, еще очень наивные попытки использовать математические объекты для описания реальности, для выражения ее сущностных связей.
Первый удар по пифагорейской философии математики был нанесен развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримых геометрических величина (несоизмеримость отрезков). Необходимо было признать, что при любом выборе единицы измерения найдутся величины неизмеримые и непредставимые отношением натуральных чисел, которые, таким образом, уже не могут быть поняты как соответствующие определенному числу. Парадокс Зенона: «Движение невозможно. В частности, невозможно пересечь комнату, так как для этого нужно сначала пересечь половину комнаты, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося...» В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.
Другая причина постепенного ослабления пифагорейской философии математики состояла в развитии философии, в появлении более обоснованного и убедительного объяснения природы математических объектов. Огромная роль принадлежит здесь Аристотелю, в сочинениях которого дана широкая и в определенном смысле исчерпывающая критика пифагореизма. Хотя Аристотель — непосредственный ученик Платона, его мировоззрение радикальным образом отличается от платоновского. Аристотель скорее исследователь природы, чем умозрительный философ, он ценит факты и логику больше, чем мифологические построения. Отношение Аристотеля к пифагорейцам отрицательное и даже пренебрежительное. Пифагорейская философия ложна прежде всего потому, что она не раскрывает причин вещей. «На каком основании, — спрашивает Аристотель, — числа суть причины? Есть семь гласных, гармонию дают семь звуков, семи лет животные меняют зубы, было семь вождей против Фив. Так разве потому, что число таково по природе, вождей оказалось семь или Плеяды состоят из семи звезд? А может быть, вождей было семь потому, что было семь ворот...»[30] Пифагорейские сопоставления для Аристотеля — простая игра с числами, основанная на случайных совпадениях и не имеющая значения для истинного объяснения явлений.
В философии Аристотеля появилось новое понимание математического мышления, которое известно сегодня под названием математического эмпиризма. Первоначальная версия математического эмпиризма, сформулированная в «Метафизике» Аристотеля, сводилась к утверждению, что математические объекты находятся не в вещах и не вне вещей, а представляют собой абстракции от вещей, удерживающие в своем содержании только те их свойства, которые связаны с формой и числом. Геометр и исследователь чисел, по Аристотелю, изучают отдельно то, что отдельно не существует. Смысл этого высказывания состоит в том, что человек, воспринимая вещи во всем многообразии свойств, отвлекается от них, оставляя лишь некоторые из них и исследуя их как отдельно (самостоятельно) существующие. Математика, по Аристотелю, является наиболее абстрактной наукой: если физик отвлекается от всех качеств тел, кроме их движения, то математик отвлекается и от движения, оставляя в сфере своего внимания только фигуры и числа. Математик строит особый идеальный мир, основанный на отвлечениях. Этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берется как независимый лишь условно, для ясности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств. Вещи первичны перед математикой и определяют ее содержание. Аристотель вернул числа в вещи.
Эмпирическое воззрение на математику встретилось, однако, с большими трудностями. Уже давно было замечено, что математические утверждения (теоремы) не подвергаются опровержению. Доказанное в математике — доказано навсегда, в то время как в физике нет ни одного утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и корректировки. Многие математические понятия, необходимые для построения математического знания, не могут быть представлены в виде абстракций опыта. Это стало очевидным уже при появлении в математике таких понятий, как мнимые, иррациональные числа, понятие бесконечности. Кроме того, математические утверждения, будучи доказанными, не могут быть подвергнуты критике на основе какого-либо опыта. В сравнении с принципами опытных наук математические аксиомы выглядят вечными и непоколебимыми истинами, которые могут претендовать только на статус приближенного знания. Очевидная специфика математических понятий и утверждений, отличающая математику от опытных наук, привела к появлению априоризма и конвенционализма, как концепций математики, в которых математика противопоставляется опытным наукам как знание принципиально иной природы, базирующееся на априорных (внеопытных) интуициях. Априоризм в определенной степени является возвращением к пифагорейскому делению знания на чувственное и умопостигаемое, ибо математика объявляется принципиально внечувственным знанием, основанным на специфической интеллектуальной или чистой чувственной интуиции.
Декарт разделил все истины на вечные, данные в аподиктической очевидности, и чувственные, постигаемые на основе опыта. Математика снова стала пониматься как знание, радикально отличное от эмпирического знания, полученное на основе внечувственной очевидности. Близкое воззрение было сформулировано Г Лейбницем. Он отличал необходимые истины (математические и логические) от истин случайных, основанных на опыте. По мнению Лейбница, необходимые истины являются аналитическими, т.е. строго выводимыми из некоторой системы простых тавтологических утверждений. И у Декарта, и у Лейбница возникновение исходных понятий математики не связывается с опытом; эти истины рассматриваются как истины самого разума, покоящиеся на очевидности, имеющей внеопытную природу.
Учение об априорности математики получило дальнейшее развитие в философии И. Канта. Кант отказался от воззрения Лейбница на аналитичность необходимых истин. Аналитичностью, с его точки зрения, обладает только логика, остальные же виды априорных истин являются синтетическими. Синтетичность математики обусловлена наличием в нашем сознании чистой чувственности, чувственного, но неэмпирического созерцания, которое позволяет сформулировать положения априорные (независимые от опыта) и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям типа А = А. Исходные положения геометрии опираются, согласно Канту, на чистое представление о пространстве, а истины арифметики — на чистое представление о времени. Чистые представления пространства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов (аксиом) математики, так и логику математического мышления. Любое математическое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе очевидного синтеза.
К важнейшим положениям кантовской философии математики нужно отнести также его положение о конструктивном характере математических объектов. Математика, по мнению Канта, содержит два типа объектов: объекты, непосредственно данные в чистом созерцании, и объекты, данные только своим правилом конструирования. Мы не можем созерцать тысячеугольник, говорит Кант, но мы имеем самоочевидную схему построения этой фигуры, и данное обстоятельство позволяет нам высказывать о ней истинные суждения, несмотря на отсутствие непосредственного зрительного образа этой фигуры.
Признание неевклидовых геометрий в XIX в. существенно поколебало истинность кантовского априоризма. Эти геометрии показывали возможность существования математических теорий, не обладающих априорной и самоочевидной основой. Аксиоматика геометрии Лобачевского и других неевклидовых геометрий не является очевидной, она обладает лишь логической определенностью. Анализ математических понятий показывал также, что многие из них не обладают и конструктивностью в кантовском смысле. Это свидетельствовало о том, что априористское воззрение на математику ограниченно и не определяет ее истинного предмета и метода.
В конце XIX в. в связи с осмыслением статуса неевклидовых геометрий и теории множеств стала оформляться новая концепция математики, получившая название формалистской философии математики. Основные ее установки могут быть выражены в виде следующих положений:
· математика не является наукой, исследующей аспекты реальности, она представляет собой лишь метод логической трансляции опытного знания и состоит из совокупности структур, пригодных для этой цели;
· основным требованием к аксиомам математической теории является не их очевидность и не их связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для ее приложения к опытным наукам;
· к математике неприменимо понятие истинности в смысле опытного подтверждения. Математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соединения ее понятий с понятиями опытных наук;
· если обоснование содержательной науки состоит в установлении ее истинности, то обоснование математической теории заключается только в доказательстве логической непротиворечивости ее аксиом.
Эти принципы оформились в конце XIX — начале XX в. в работах Г. Кантора, А. Пуанкаре и Д. Гильберта. Ясно, что, принимая этот взгляд на сущность математической теории, мы уходим от трудностей эмпирической и априористской философии математики. От математической теории не требуется больше ни наглядности, ни рациональной очевидности принципов, не требуется опытного происхождения и конструктивности понятий. Для математической теории объявляется существенным только одно требование, а именно требование ее непротиворечивости. Проблема обоснования математической теории понимается с этой точки зрения как строгое доказательство ее непротиворечивости. Философия математики XX в. развивалась в основном в русле этих принципиально новых идей, которые, безусловно, представляют собой более высокий этап в понимании природы математического мышления. Определенная трудность этой концепции состоит в том, что она рассматривает все математические теории как онтологически равноценные и не выделяет традиционных теорий как обладающих особым онтологическим статусом.
На протяжении XX в. появились новые воззрения на природу математики. Мы видим прежде всего некоторое возрождение эмпиризма. В этом плане получила известность концепция Ж. Пиаже, который в 50-х гг. прошлого века сформулировал операциональный подход к пониманию природы исходных математических понятий. По мнению Пиаже, необходимо различать два вида опыта: физический и логико-математический. Когда ребенок рассматривает камешки и сравнивает их по цвету, он находится в сфере физического опыта и физических абстракций, когда же он начинает считать эти камешки, то он отвлекается от всех их физических качеств и обращает внимание только на операции, необходимые для того, чтобы переложить их из одной кучки в другую. Исходные математические понятия, по мнению Пиаже, сформировались в опыте, но не в сфере физического, а в сфере логико-математического или операционального опыта, т.е. через наблюдение операциональной активности. Ошибка традиционного эмпиризма состояла в том, что он ставил своей задачей вывести исходные представления математики из физического опыта. Математика в своей сути — это наука о реальных и мысленных операциях, и, таким образом, она имеет предмет, определенный структурой операционального опыта.
Другой вариант эмпирического понимания математического мышления был предложен И. Лакатосом в его известной работе «Доказательства и опровержения», а также в ряде статей, посвященных философии математики. Эмпиризм Лакатоса можно назвать методологическим, ибо он направлен прежде всего на критику традиционных представлений о строгости математического доказательства и проектов логического обоснования математических теорий. Лакатос выдвинул положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Самое убедительное доказательство, по его мнению, содержит в себе систему скрытых допущений, неявных предпосылок, которые могут оказаться ошибочными или противоречивыми. Полное выявление такого рода допущений, считает он, ни в одном конкретном случае не может быть достигнуто. Даже если бы некоторое доказательство действительно оказалось полностью свободным от скрытых допущений, то мы все равно не могли бы доказать этого факта, т.е. его законченности. Лакатос убежден в том, что мы считаем доказательства строгими в соответствии с принятыми для данного времени критериями строгости, которые не являются неизменными. Абсолютно строгих доказательств, с этой точки зрения, не существует, ибо доказательство, удовлетворяющее критериям строгости одной эпохи, может оказаться нестрогим с точки зрения критериев другой эпохи.
В последнее время появились также воззрения на математику, которые можно назвать неоаприоризмом, поскольку они настаивают на априорности исходных принципов арифметики и евклидовой геометрии, трактуя остальные математические теории в духе формалистской концепции. Математика с этой точки зрения разбивается на две части: первичная, априорная математика, принципы которой обладают самоочевидностью и вторичная, формальная математика, созданная для внешних (прикладных) задач, удовлетворяющая только требованию непротиворечивости. Неоаприористское воззрение на природу математики представляется достаточно перспективным. Несомненно, что исходные математические теории, такие, как арифметика, геометрия и логика, имеют прямую связь с универсальной онтологией, они тесно связаны с категориальным видением мира и имеют значение для мышления вне их прикладной ценности. Безусловно, Кант был прав, связывая исходные математические представления с общей логикой человеческого мышления.
Краткий обзор основных воззрений на природу математики убеждает нас в том, что наряду со сдвигами в развитии самой математики происходит постоянное совершенствование философии математики. Мы видим здесь смену воззрений и возрождение старых точек зрения на основе новых фактов. Очевидно, что это диалектическое движение не может закончиться. В философии математики мы не достигаем последних пределов, как и в развитии самой математики.