Ряды Тейлора и Маклорена

Ряд вида

называется рядом Тейлора для функции .

При получим ряд

который называется рядом Маклорена.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в точке . Составим для неё формально ряд Тейлора. Для данного ряда возникают следующие вопросы:

1. Совпадает ли сумма ряда с функцией ?

2. При каких условиях функция может быть разложена в ряд Тейлора?

Найдём частичную сумму ряда Тейлора, которая называется многочленом Тейлора степени n:

Разность между функцией и её многочленом называется остаточным членом ряда Тейлора:

Остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа имеет вид:

где .

При получим остаточный член ряда Маклорена:

где .

Теорема 12. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке функция являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член стремился к нулю при , т.е. чтобы .

Иногда не просто определить значения х, при которых

На практике часто пользуются следующей теоремой:

Теорема 13. (достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора)

Если в некоторой окрестности точки абсолютные величины всех производных функции ограничены , то функция разлагается в ряд Тейлора, т.е. .

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена даны в приложении 1. Используя эти разложения и формулу суммы геометрической прогрессии можно получить разложения некоторых функций в степенные ряды. В этом случае нет необходимости исследовать остаток ряда и находить отдельно интервал сходимости. При разложении функции в степенной ряд можно применять почленное дифференцирование или интегрирование степенного ряда.

Пример 29. Используя основные разложения (приложение 1), найти разложение по степеням х для функции .

Воспользуемся разложением функций и :

Интервал сходимости рядов: .

В разложениях заменим х на 3х:

Просуммируем ряды и сгруппируем слагаемые по степеням х:

Получили разложение функции в степенной ряд:

Интервал сходимости полученного ряда: .

Пример 30. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Воспользуемся рядом Тейлора:

Найдём коэффициенты разложения:

Наблюдается закономерность: , , , тогда .

Подставим найденные значения в ряд Тейлора:

Упростив коэффициенты, получим разложение функции в ряд Тейлора:

Найдём интервал сходимости полученного ряда. Общий член ряда

По признаку Даламбера:

Раскроем модуль: , , интервал сходимости .

Проверим сходимость ряда на концах интервала.

При получим ряд . Гармонический ряд расходится.

При получим ряд .

Знакопеременный числовой ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Интервал сходимости .

Замечание. При разложении функции в степенной ряд необходимо находить интервал сходимости.

Пример 31. Найти разложение в ряд Маклорена функции .

Находить разложение в степенной ряд данной функции по определению трудоёмко, так как надо вычислять производные и выявлять закономерность. Воспользуемся представлением данной функции в виде интеграла:

Подынтегральную функцию разложим в ряд Маклорена, используя разложение:

с областью сходимости . Заменим в разложении х на :

Область сходимости полученного разложения . Почленно проинтегрируем полученный ряд в пределах от 0 до х, где :

Получили разложение функции в степенной ряд:

Интервал сходимости .

Пример 32. Представить интеграл в виде ряда по степеням х:

Подынтегральная функция .

Воспользуемся частным случаем биноминального разложения функции в степенной ряд

с областью сходимости .

Заменим х на :

Тогда интеграл можно представить так:

Разложение интеграла можно записать так:

Интервал сходимости полученного ряда сохраняется: .

Иногда приходится решать обратную задачу: по данному разложению найти сумму ряда, или установить к какой функции ряд сходится. Для этого используют почленное дифференцирование или интегрирование степенных рядов и стандартные разложения элементарных функций (приложение 1). В каждом случае необходимо определить, какой метод применить.

Пример 32. Применяя почленное дифференцирование или интегрирование, найти сумму степенного ряда: