ОСНОВНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

НАДЕЖНОСТИ

В соответствии с (2.18) интенсивность отказов

 

 

 

Это выражение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

 

 

В результате интегрирования обеих частей уравнения в пределах 0... t получим

 

 

Отсюда получаем основное интегральное уравнение надежности:

 

 

Переходя от интенсивности отказов к средней наработке на отказ, получим

 

 

Для диапазонов времени, где интенсивность отказов постоянна, т.е. λ = const (рис.2.12), вероятность безотказной работы вычисляется по формуле

 

 

Для изделий, интенсивность отказов которых имеет вид λ₂(t) эта формула справедлива лишь для 0 ≤ t ≤ t ₂.

Зависимость (2.43) для вероятности безотказной работы получила название экспоненциальный закон надежности.

 

 

Рис. 2.11. Интенсивности отказов: λ₁(t) = const для 0 ≤ t ≤ ∞

и λ₂(t) = const для 0 ≤ t ≤ t ₂

 

Условная вероятность безотказной работы изделия в течение времени t при условии, что оно из этого времени уже проработало время t ₁, в соответствии с (2.17), равна

 

 

 

Для изделий, у которых в пределах 0.. t ₁ рис. 2.11), из (2.44) при t < t_a следует

 

 

Если наработка после момента t_a равна t, т. е. t = t_a + τ, то

 

 

Отсюда следует, что при постоянной интенсивности отказов условная вероятность безотказной работы изделия зависит только от длины интервала τ предстоящего времени работы и не зависит от того, сколько времени оно уже проработало до начала интервала τ.

Сущность интеграла от функции интенсивности отказов в выражении (2.41). При одновременном функционировании многих изделий образуется случайная во времени последовательность событий их отказов — поток отказов. Параметром этого потока является интенсивность отказов. В соответствии с определением эта интенсивность отказов представляет собой математическое ожидание числа отказов, приходящихся на бесконечно малом интервале времени на 1ч суммарной наработки большого числа (N ⟶ ∞) изделий. Интеграл в (2.41)

определяет математическое ожидание числа отказов в случайном потоке за время t наработки большой (генеральной) совокупности изделий. Здесь t есть наработка каждого изделия в совокупности, рассматриваемой как единое целое.

При λ(t) = λ = const имеет место H (t) = λ t.

С возрастанием t справедливо условие , поскольку ≤ t ≤ ∞.

Следовательно, формула (2.41) выражает связь вероятности отказов одного изделия со средним числом отказов генеральной совокупности изделий за время t.

Поскольку λ(𝜏) , то при λ(t) = λ = const имеет место и постоянство средней наработки на отказ:

 

 

Тогда при t = из (2.47) следует

 

 

т. е. через наработку изделия (генеральной совокупности), равную средней наработке на отказ , отказывает в среднем одно изделие из совокупности; за наработку t = 2 Т _c в среднем откажет два и т. д. Вероятность отказа одного изделия за наработку t = Т _c из (2.43)

 

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОКАЗАТЕЛЯМИ

НАДЕЖНОСТИ

Из (2.18) и (2.41) плотность вероятности через интенсивность отказов можно выразить так:

f (t) = λ(t) p (t) = λ(t) . (2.49)

 

Для случая λ(t) = λ = const

Средняя наработка на отказ

 

Для случая λ(t) = λ = const

Среднее время безотказной работы в соответствии с (2.31) и (2.41) запишется в виде:

 

 

Для случая λ(t) = λ

Таким образом, если для изделия интенсивность отказов постоянна на всем диапазоне 0 ≤ t ≤ ∞, то средняя наработка на отказ t_i и среднее время безотказной работы равны друг другу:

 

 

В общем же случае λ(t) ≠ const и При этом имеют место участки наработки изделия, когда выполняется соотношение и даже T _c(t) >>T₀. Так, для рассмотренных выше примеров (табл. 2.2 и рис. 2.10) максимальное значение T _c(t) = 9800 ч, а = 4196 ч.

Для надежных изделий, наработка которых находится в пределах участка II (рис. 2.8), средняя наработка на отказ может достигать сотен тысяч часов. При этом не следует удивляться, что это время значительно превышает физический технический ресурс изделия.

Для вероятности безотказной работы изделия, имеющего λ(t) = λ = const, можно использовать любое из выражений:

Точность оценки Т ₀. Иногда на практике оценивают среднее время безотказной работы изделия по результатам отказов не всех N ₀ а только некоторой части из этих N ₀ изделий:

 

где n (t) — число отказавшихся изделий к рассматриваемому моменту t; t _j — наработка отказавшего j -го изделия.

Умножим и разделим числитель и знаменатель (2.54) на N ₀ и значения интервалов ∆ t_j. времени между соседними отказами:

 

Где статистическая плотность вероятности отказа j -го изделия на интервале времени , примыкающем к моменту t; вероятность отказа изделия.

Поэтому (2.55) можно записать так:

 

 

где n (t) — число отказов, т. е. число частей, на которое делится весь интервал 0… t времени t до появления n (t) отказов.

С увеличением N ₀ это число частей возрастает, a — уменьшается. При N ₀⟶∞ интервал а число частей возрастает до числа отсчитываемых единиц времени. Тогда из последней формулы получается выражение для точного значения приближения к среднему времени безотказной работы:

 

При N ₀⟶∞ в (2.56) = 1 и , т.е.

Для оценки погрешности при использовании (2.54) и (2.56) при n (t) < N ₀ рассмотрим случай, когда λ(t) = λ = const. Тогда из (2.56) имеем

 

 

или, учитывая, что

 

 

Согласно этой формуле построим зависимость среднего времени

безотказной работы отказавших изделий в функции отношения t / T ₀ (рис. 2.12). Из рисунка следует, что по (2.54) даже при наработке t = T ₀, т.е.при t / T ₀=l, будет получено значение = 0,419 Т ₀. Лишь при t = (4…5) T ₀ по(2.54) и (2.56) можно получить близкое к действительному значение среднего времени безотказной работы. Указанные формулы дают заниженную оценку среднего времени безотказной работы изделия.

Из (2.35) и (2.31) следует взаимосвязь среднего времени безотказной работы Т₀ и средней наработки на одно изделие T _N (t) в интервале наблюдения:

 

 

При имеет место . Значение асимптотически стремится к (рис. 2.10).

В случае экспоненциального закона надежности (λ(t) = λ = const) из| (2.35) имеем:

 

или, поскольку , а , то

 

 

С увеличением времени t вероятность отказа q (t) 1 и, следовательно, с течением наработки средняя наработка на одно изделие T _N (t) приближается к значению среднего времени безотказной работы Т₀ (рис. 2.10).

 

Рис. 2.12. Оценка Т ₀ по формулам (2.54) и (2.59)

 

По (2.59) построена зависимость в функции отношения t/T₀ (рис. 2.12). Сравнение зависимостей T_N (t / T ₀) и T_n (t / T ₀) показывает, что расчеты по формулам (2.37), (2.35) и (2.59) дают значительно лучший результат при приближенном определении среднего времени безотказной работы T ₀ изделия, чем по формулам (2.54) - (2.57) для T_n (t). Однако и в этом случае для получения достаточного приближения к Т₀ время испытаний должно быть в 2...3 раза больше, чем искомая величина.

Сократить время испытаний для определения Т ₀ можно следующим образом. Поставив N ₀ изделий под наблюдение, фиксируют число отказавших изделий n (t) и время t испытаний. При этом определяют статистическую вероятность безотказной работы к текущему моменту t:

 

 

Как только станет p *(t) = 0,37, испытания останавливают, а полученное при этом время испытаний принимают равным T ₀ здесь сделано допущение, что интенсивность отказов изделий постоянна). Число должно быть достаточно большим.

Из (2.37) следует, что при t ⟶∞ усредненная наработка на отказ асимптотически приближается к среднему времени безотказной работы:

 

 

Поскольку характер зависимости может не быть монотонным, параметром для оценки значения Т₀ не следует пользоваться (рис. 2.10).

Учет вероятностей полных и неполных отказов. В соответствии с классификацией отказов (гл.1) при эксплуатации объекта авиационного оборудования им могут быть присущи полные и неполные отказы. В ряде случаев это необходимо учитывать (например, при оценках функциональной эффективности объектов).

Для таких случаев интенсивность отказов объекта можно представить суммой:

 

где и - интенсивности соответственно неполных и полных отказов.

Можно записать также:

где - коэффициенты интенсивностей неполных и полных отказов соответственно.

В частном случае интенсивности отказов могут не зависеть от наработки объекта.

С учетом (2.61) соотношение для вероятности безотказной работы объекта можно записать в виде:

 

 

где и — вероятности неполных и полных отказов соответственно за наработку t.

 

Контрольные вопросы

1. Поясните схему надежности невосстанавливаемых устройств.

2. Дайте определения вероятности безотказной работы и отказа изделия.

3. Поясните характеристику «плотность распределения вероятности отказа изделия». Поясните ее график.

4. Поясните и получите формулу условной плотности вероятности отказа.

5. Поясните характеристику «условная плотность вероятности отказа».

6. Определите понятие «интенсивность отказов» и поясните математическую и статистические зависимости для этой характеристики.

7. Поясните показатель «средняя наработка на отказ».

8. Получите соотношение для среднего времени безотказной работы изделия.

9. Получите формулу экспоненциального закона надежности.

10. Напишите формулы связи между полученными выше характеристиками надежности.

11. Как оценить точность оценки среднего времени безотказной работы изделия при ограниченном времени эксперимента?

 

Известная функция	Определение трех остальных функций через известную
P (t)	Q (t)	f (t)
P (t)	––
Q (t)		––
f (t)			––
				––