Результаты расчета к примеру 2,3

Глава 2

НАДЕЖНОСТЬ НЕВОССТАНАВЛИВАЕЫХ ИЗДЕЛИЙ

2.1. МОДЕЛЬ НАРАБОТКИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ

 

Для оценки, расчетов и исследования надежности технических изделий в процессе их проектирования и эксплуатации используются показатели надежности.

Показатель надежности количественно характеризует, в какой степени конкретному изделию присущи определенные свойства, обуславливающие его надежность.

При исследованиях вопросов надежности, поисках общих закономерностей и определений рациональных путей повышения надежности техники используют вероятностно-математические методы. Для решения прикладных задач по надежности на основе обработки полученных в эксплуатации или при испытаниям статистических данных используют статистические методы.

Поэтому при дальнейшем изучении основ теории надежности все показатели надежности рассматриваются в статистическом и вероятностном представлениях.

На модели наработки N ₀ невосстанавливаемых изделий (рис.2.1) по оси t отложена наработка изделия (суммарная продолжительность работы объекта) (в часах), а по оси ординат - порядковые номера учитываемых изделий с номерами 1, 2, 3, N ₀. Ромбиками в конце линий наработок отмечены моменты отказов каждого из изделий.

Поскольку изделия невосстанавливаемые, правее моментов отказов линии наработок отсутствуют.

 

ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

К основным показателям надежности невосстанавливаемых изделий относятся:

• вероятность безотказной работы;

• вероятность отказа;

• плотность вероятности отказа;

• интенсивность отказов;

• среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа);

• средняя наработка на отказ.

Вероятность безотказной работы. Пусть испытывается некоторое число N ₀ изделий. По разным причинам они будут выходить из строя, причем моменты отказов, т. е. наработка каждого из изделий до отказа, является случайной величиной. Если все N ₀ изделий пронумеровать, то графически наработка каждого из них представится так, как на рис. 2.1.

Вероятность безотказной работы P (t) изделия есть вероятность того, что за определенный рассматриваемый период наработки t в заданных условиях эксплуатации оно не откажет:

P (t) = Вер (t _отк ≥ t)

г. е. вероятность того, что наработка до отказа t _отк будет больше t.

Если к моменту t из поставленных на испытания N ₀ изделий останутся исправными N (t), то статистическая вероятность безотказной работы изделия за время t

 

 

С увеличением числа взятых на испытания изделий статистическая вероятность p *(t) сходится по вероятности к истинному значению вероятности:

 

 

Вероятность отказа. Противоположным событию безотказной работы является событие отказа. Вероятность отказа q (t) есть вероятность того, что наработка до отказа t _отк будет меньше заданной наработки изделия:

 

q (t) = Вер (t _отк < t).

 

Статистическая вероятность отказа

 

 

где n (t) - число отказавших изделий к моменту t. Истинное значение вероятности отказа

 

Сумма вероятностей p (t) и q (t) как противоположных событий равна единице:

p (t) + q (t)=1

Отсюда

p (t) = 1 – q (t), q (t) = 1 – p (t).

 

С течением наработки число отказавших изделий непрерывно увеличивается. Следовательно, вероятность отказов q (t) является монотонно возрастающей функцией, а вероятность безотказной работы p (t) - монотонно убывающей (рис. 2.2).

 

Рис. 2.2. Графики функций вероятностей безотказной работы и отказа

Таким образом, если все испытываемые изделия в момент t = 0 были исправными, то справедливы следующие соотношения:

 

1 ≥ p (t) ≤ 0; p (t = 0) = l; p (t → ∞) = 0;

0 ≤ q (t) ≤ 1; q (t = 0) = 0; p (t → ∞) = 1.

 

Плотность вероятности отказа. Этот показатель иначе определяется как плотность распределения наработки до отказа, т.к. вероятность отказа фактически является функцией распределения случайной величины наработки до отказа.

Данная характеристика определяет скоростъ изменения вероятности отказа в каждый момент наработки t:

 

 

Поскольку , то вместо (2.5) можно записать:

 

 

11оследнее соотношение не является математически строгим, поскольку число отказов n (t) дискретно.

Из (2.6) получается выражение для средней статистической плотности вероятности отказа на i -м интервале наработки:

 

 

где — число отказавших изделий на i -м интервале наработки :

Из (2.7) видно, что средняя плотность вероятности отказа на интервале наработки есть число отказов на этом интервале в единицу времени, приходящееся на одно первоначально взятое изделие.

Если учесть, что N ₀ t есть максимальный ресурс общей наработки изделий за время t (если бы отказы отсутствовали), а N ₀ • ∆ t - максимальный ресурс общей наработки изделий на отрезке то для (2.7) можно дать также такое определение: средняя плотность вероятности отказа на интервале времени ∆ t_i есть число отказов на этом интервале, приходящееся на один час максимального ресурса общей наработки изделий на этом интервале.

График «классической» зависимости плотности вероятности отказа (рис. 2.3) имеет три характерных участка.

Повышенная плотность вероятности на участке I является следствием отказов изделий по причине скрытых производственных дефектов. В этот период "детства" (или приработки) отказывают наиболее слабые элементы изделия.

 

Следовательно, в результате специальной тренировки всех новых изделий можно отбраковать изделия с такими элементами, а оставшиеся направить на эксплуатацию.

Участок II кривой характеризуется убывающей плотностью вероятности отказов. Этот период работы изделия называют периодом нормальной эксплуатации. Отказы здесь являются следствием общих недостатков конструкции и технологии производства.

Участок III кривой соответствует периоду "старости" изделия, когда число отказов возрастает ввиду износа деталей и старения материалов элементов схем, конструкций изделия. На этом участке плотность вероятности отказа сначала резко возрастает, а затем уменьшается до нуля (ввиду малого числа оставшихся исправными изделий). Время отказа последнего из N ₀ изделий может быть очень большим, стремящимся к бесконечности.

Для построения кривой плотности вероятности по статистическим данным испытаний составляется таблица числа отказов , по интервалам времени ., и по формуле (2.7) определяются значения статистических плотностей вероятности отказа .

На основе зависимости f (t) нетрудно получить значения вероятностей безотказной работы p (t).

Рис. 2.4. Площади S ₁ и S ₂, соответствующие вероятностям отказа

и безотказной работы

Интеграл от плотности вероятности за время от t = 0 до t ⟶ ∞ равен единице:

Графически этот интеграл представляет собой полную площадь, ограниченную кривой f (t) (рис. 2.4). При этом для текущего значения наработки t ₁ площадь, определяемая как

 

есть вероятность отказа за наработку t ₁. Справа от t ₁ площадь под кривой представляет собой вероятность безотказной работы:

С возрастанием t ₁ растет площадь q (t ₁) и уменьшается p (t ₁).

 

Пример 2.1. На испытания были поставлены 507 ламп. Контроль их работоспособности осуществлялся через каждые ∆ t = 200 ч. В результате полученные значения ∆ t и∆ n_i = ∆ n (∆ t _i)заносятся в табл. 2.1. Отсюда определяются значения суммы числа отказов числа исправных изделий N_i к концу каждого i -го интервала времени, вероятностей безотказной работы p (t) отказа q (i) в функции наработки.

На рис. 2.5 по данным табл. 2.1 построены графики изменения вероятностей безотказной работы p (t) и отказа q (f).

 

Таблица 2.1

Таблица данных к примеру 2.1

	Δ ti	Δ ni	∑ Δ ni	Ni	p (t)	q (t)
	0...200				0,95	0,05
	201...400				0,91	0,09
	401...600				0,88	0,12
	601... 800				0,85	0,15
	801... 1000				0,83	0,17
	1001... 1200				0,81	0,19
	1201... 1400				0,79	0,21
	1401... 1600				0,78	0,22
	1601... 1800				0,76	0,24
	1801...2000				0,73	0,27
	2001...2200				0,725	0,275
	2201...2400				0,72	0,28
	2401...2600				0,71	0,39
	2601...2800				0,69	0,31
	2801...3000				0,68	0,32
	3001...3200				0,66	0,34
	3201...3400				0,65	0,35
	3401...3600				0,63	0,37
	3601...3800				0,62	0,38
	3801...4000				0,61	0,39
	4001...4200				0,60	0,40
	4201...4400				0,58	0,42
	4401..4600				0,56	0,44
	4601...4800				0,55	0,45
	4801...5000				0,53	0,47
	5001...5200				0,49	0,51
	5201...5400				0,43	0,57
	5401...5600				0,37	0,63
	5601...5800				0,32	0,68
	5801...6000				0,27	0,73
	6001...6200				0,22	0,78
	6201...6400				0,17	0,83
	6401...6600				0,12	0,88
	6601..6800				0,085	0,815
	6801...7000				0,051	0,949
	7001…7200				0,032	0,968
	7201...7400				0,018	0,982
	7401...7600				0,010	0,990
	7601...7800				0,006	0,994
	7801...8000				0,002	0,998

 

Условная плотность вероятности отказа. Пусть изделие наработало время t _{1 }} и в момент t ₁осталось работоспособным, т. е. отказа нет (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Плотность вероятности f (t)и условная плотность вероятности f (t/t ₁)отказа изделия

 

За оставшееся время f...∞ оно должно обязательно отказать, т. е. отказать с вероятностью единица. Следовательно, для данного конкретного изделия площадь кривой плотности вероятности, расположенная правее момента t ₁ численно должна быть равна единице. Чтобы выполнялось это условие, все координаты f (t), лежащие правее t ₁следует разделить на нормирующее число, равное значению площади f (t) на интервале t→ ∞, т. е. на

 

В результате такого деления получаются значения условной плотности вероятности отказа в моменты t ≥ t ₁при условии, что до t ₁отказа не было:

Из этого соотношения видно, что после момента t = t ₁(т. е. при t > t ₁)плотность вероятности возрастает (рис. 2.6) по сравнению с f (t).

В статистическом виде с учетом (2.1):

 

где - число отказавших изделий на интервале времени , примыкающем к t ₁;

N (t, Δ t) — среднее число исправно работающих изделий на интервале времени Δ t.

При Δ t → 0 получим:

 

Условная вероятность безотказной работы. Пусть А – событие безотказной работы изделия за время t = 0.. t_a, а В - событие безотказной его работы за время t = 0... t_{в е}, причем t_в > t _а. Тогда вероятность совместного события А и В

р(А • В) = р (А) • р (В/А)

 

т.е.равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В при условии, что событие А произошло. Но событие А поглощается событием В (т. е., если произошло В, то было и А): р (А • В) = р (В).

Следовательно, вместо (2.14) можно записать:

 

p (В) =р(А)·р (В/А).

 

Переходя от событий к временам t_а и t_{b в} имеем

 

Или

В статистическом виде из (2.16) следует:

 

 

Таким образом, вероятность безотказной работы изделия в течение времени t = t_а... t_в при условии, что оно не отказало в течение времени 0... t_а выражается отношением числа исправных изделий в момент t к числу исправных в момент t_а.

Пример 2.2. В течение 300 ч налета каждого из 360 самолетов зарегистрировано 27 отказов курсовых систем, причем 9 из них произошли в течение первых 100 ч налета каждым самолетом. Требуется оценить вероятность безотказной работы за 300 ч налета систем, которые безотказно наработали 100 ч.

В соответствии с принятыми выше обозначениями имеем: N₀= 360, t_a = 100 ч, t_b = 300 ч, п_a = 9, п_b = 27. Тогда вероятности безотказной работы системы при наработках t_{a a} и t_b равны:

p (t_a) = p^*(100) = 1 – ,

p(t_b) = р* (300) = 1 – = 1 – 0,925.

 

Вероятность безотказной работы через 300 ч изделия, наработавшего безотказно 100 ч, согласно (2.17) равна

 

р* (300/100) =

 

Интенсивность отказов. Плотность вероятности отказов определяет скорость появления отказов, отнесенную ко всему числу первоначально взятых изделий. На практике оказалась необходимой также характеристика, оценивающая скорость появления отказов среди исправных в данный момент изделий. Такой характеристикой является интенсивность отказов изделия, для которой ниже даются три разнозначных определения.

Интенсивность отказов есть условная плотность вероятности отказа изделия в момент времени t при условии, что до этого момента оно не отказало (2.11):

В статистическом виде соотношение (2.18) можно записать как

 

 

или, при Δ t → 0и N ₀ → ∞:

 

Из сравнения (2.20) с (2.13) следует второе определение для интенсивности отказов: интенсивность отказов есть число отказов в единицу времени, приходящееся на одно исправное изделие в момент времени t

Обратим внимание на физический смысл знаменателя в (2.19) и (2.20). Оказывается, что произведение N (t, Δ t)Δ t (или N (t) dt)представляет собой общую наработку изделий на интервале Δ t:

(t)

Поэтому

Отсюда следует третье определение для интенсивности отказов: интенсивность отказов в момент t есть число отказов изделий, приходящееся на единицу времени суммарной наработки многих изделий на малом интервале времени dt (или Δ t), примыкающем к моменту t.

Выражение (2.22) можно записать для i -го интервала времени следующим образом:

- наработка изделия на интервале .

Это время равно нулю для изделий, отказавших до начала i -того интервала времени и равно для изделий, не отказавших к началу (i + 1) интервала, и меньше для тех, которые отказали в пределах _i.

Во многих случаях могут быть не известны точные моменты отказов каждого изделия, а известно лишь число отказов на каждом i -м интервале времени. Тогда приблизительное значение общей наработки изделий на i -м интервале времени определяется как

 

(2.24)

 

Здесь

 

 

число изделий, оставшихся исправными к концу интервала .

В (2.25) сделано допущение, что моменты отказов на i -м интервале распределены равномерно, т. е. средняя наработка отказавших изделий на интервале равна 0,5Δ n_i Δ t_i.

Пример 2.3. По исходным данным табл. 2.1 рассчитать и построить характеристики f* (t)и λ* (t).

При расчете используются зависимости (2.7), (2.22), (2.25) и табл. 2.1.

Результаты расчета f* (Δ t), и λ *(Δ t_i) приведены в табл. 2.2. На рис.2.7 по данным табл. 2.2 простроены графики λ (t) и f (t).

Таблица. 2.2

Результаты расчета к примеру 2,3

i	Δ ti	Ni	f* (Δ t) ×103	ΔtH∑ i ч	λ* (Δ t)× 1O3	Tc* (Δ t) ч	Tус*( Δ t) ч	TN*( Δ t) ч
	0...200		24,65	98 900	24,81
	201...400		19,72	94 400	20,83
	401...600		15,75	90 800	17,22
	601...800		13,81	87 800	15,94
	801... 1000		9,86	86 600	11,71
	1001...1200		8,80	83 500	9,78
	1201... 1400		7,89		9,89
	1401...1600		7,89	80 200	9,98
	1601...1800		8,88	78 500	11,41
	1801...2000		6,90	76 900	9,06
	2001...2200		7,89	75 400	10,60
	2201...2400		6,90	73 900	9,42
	2401...2600		6,90	72 500	9,61
	2601...2800		7,89	71 000	11,20
	2801... 3000		6,90	69 500	10,01
	3001... 3200		6,90	68 100	10,22
	3201... 3400		5,92	66 800	10,32
	3401... 3600		7,89	65 000	12,19
	3601...3800		7,89	63 800	12,50
	3801...4000		5,92	62 400	9,58
	4001...4200		5,92		9,77
	4201...4400		6,90	59 900	11,64
	4400...4600		7,89	58 400	13,65
	4601...4800		9,86	56 600	17,61
	4801...5000		14,79	54 900	27,62
	5001...5200		21,70		42,92
	5201...5400		24,65	45 700	48,26
	5401...5600		26,63	40 500	63,13
	5601...5800		25,64	35 200	73,42
	5801...6000		27,61	29 800	93,37
	6001...6200		24,65	24 500	101,21
	6201...6400		23,07	19 600	122,45
	6401...6600		22,68	14 990
	6601...6800		19,72	10 600
	6801...7000		16,77
	7001...7200		9,86
	7201...7400		6,90
	7401...7600		3,94
	7601...7800		1,97
	7801...8000		1,97

 

Рис. 2.7. Плотность распределения f (t)и интенсивность отказов λ (t)

 

График f (t)на рис. 2.7 условно начинается не со значения f (t) = 0. Если в момент начала испытаний все изделия были исправны, то график при t = 0 начинался бы из точки f (t) = 0.

Значения интенсивности отказов и плотности вероятности в момент t = 0 равны. При t > 0 всегда λ (t ) > f (t).

Следует уяснить, что все построенные зависимости p (t), q (t) f (t), λ (t)характеризуют надежность одного изделия, хотя они строятся на основании обработки статистики по большому числу этих изделий, т. е. приводимые значения этих характеристик определяют их для одного изделия, а не какого-то их числа N > 1.

Средняя наработка на отказ. Возьмем величину, обратную интенсивности отказов (2.22):

 

 

поскольку

 

В результате получается статистическая средняя наработка многих изделий на отказ на интервале времени Δ t. Полагая, что начальное число N _{0 G} испытываемых изделий велико { N₀→∞ }, а Δ t→ 0, вместо (2.27) получим:

 

 

 

Таким образом, средняя наработка на отказ невосстанавливаемых изделий есть среднее время суммарной наработки большого числа (стремящегося к бесконечности) однотипных изделий на малом (стремящемся к нулю) интервале времени, приходящееся на один отказ на этом интервале времени.

 

Рис.2.8. Интенсивность отказов и средняя наработка на отказ

невосстанавливаемого изделия в функции времени наработки

 

Средняя наработка на отказ T _c(t) есть функция времени, однозначно связанная с интенсивностью отказов, что отражено на рис. 2.8.

Точное значение средней наработки на отказ есть функция наработки, т.е. оно характеризует как интенсивность отказов, так и безотказность изделия в каждый данный момент времени t его наработки.

Пример 2.4. Для условий примера 2.1 требуется рассчитать статистические значения T* (t)для каждого интервала времени Δ t_i.

Используя данные о среднеинтервальной наработке изделий и числе отказов n (Δ t) ₉ записанные в табл. 2.2 и табл. 2.1, по (2.27) определяются значения которые внесеныв табл. 2.2.

 

Среднее время безотказной работы (средняя наработка дo отказа). Статистически среднее время безотказной работы изделия

 

 

– наработка j -го изделия до его отказа.

Для определения T ₀ необходимо вести испытания до тех пор, ока откажут все N ₀₀ изделий и при этом фиксировать наработку t_j до отказа каждого j -го изделия.

Среднее время безотказной работы изделия может называться также средней наработкой до отказа. Это среднее время (2.29) неследует смешивать со средней наработкой на отказ (2.27):

 

 

если T _0(| не является функцией времени и получается лишь после отказа вcex N ₀изделий, то T_C (t)есть функция времени.

Пример 2.5. Для условий примера 2.1 определить значение среднего времени безотказной работы изделий.

В табл. 2.2 записаны значения суммарной наработки изделий к концу каждого i - го интервала времени, полученные по (2.25).

Суммированием этих интервальных наработок получаем к концу 40-го интервала суммарную наработку всех изделий, равную 2 127 490 ч.

11ри этом одно изделие остается исправным, т.е. не все еще издслия отказали. Однако оставшейся наработкой до отказа этого последнего изделия можно пренебречь, поскольку доля ее в общей наработке пренебрежимо мала. В этом случае

 

 

Точное значение среднего времени безотказной работы определяется известной формулой для математического ожидания случайной величины:

 

 

Поскольку f (t) = то (2.30)можно записать как

После интегрирования этого выражения по частям получим:

 

Здесь первое слагаемое равно 0, так как после подстановки пределов интегрирования при нижнем пределе t = 0, а при верхнем –p(∞) = 0.

В результате

 

 

Следовательно, среднее время безотказной работы изделия численно равно площади, ограниченной кривой вероятности безотказной работы p (t)и осями координат.

Средняя наработка на одно изделие в интервале наблюдения. Это время определяется статистическим выражением

 

 

где t_j (t) - наработка j -го изделия в интервале 0... t

При этом учитываются наработки отказавших и исправных к моменту t изделий. Вполне очевидно, что средняя наработка будет меньше поскольку ряд изделий из первоначально взятых N₀ отказали до момента t.

Если все время t наблюдения разделить на т интервалов, величины которых равны времени между j -1-м и j- мотказами, то (2.32) можно записать в виде:

где N_j — число изделий, безотказно работавших на j- минтервале Δ t_j (отказ одного из них происходит лишь на правой границе Δ t_j);

N_j Δ t_j - суммарная наработка N_j изделий на интервале Δ t_j.

На графике (рис.2.9), поясняющем случайное изменение числа исправных изделий и соответствующих интервалов времени, все ∆ t_j не равны друг другу, т.е. их величины случайны.

Рис. 2.9. График случайных интервалов наработок с одним отказом в конце интервала

 

Отношение представляет собой статистическую вероятность безотказной работы изделия за время t. Поэтому

 

11ри N₀ → ∞ число т интервалов возрастает, а их длины ∆ t_j уменьшаются до ∆ t_j→ 0. В пределе вместо суммы (2.34) поучается выражение для точного значения средней наработки на одно изделие на интервале наблюдения:

 

Усредненная наработка на отказ. Если суммарную наработку изделий к моменту t разделить на число отказов к этому моменту времени, то получим усредненную наработку на отказ изделия к моменту t:

Разделив числитель и знаменатель этого соотношения на N ₀, получим

где — средняя наработка одного изделия на интервале времени наблюдения ((2.32)...(2.35)).

С учетом соотношения выражение (2) запишем в виде

 

 

 

При t ; =1; . (4)

Пример 2.6. В последние три столбца табл. 2.2 (для условий примера 2.1)записаны значения T _с(t), T _ус(t), а T _N(t), получено по (4). По этим данным на рис. 2.10построены соответствующие усредненные кривые (точки на графике соответствуют значениям параметров в табл. 2.2).

 

Как следует из графиков, средняя наработка на отказ имеет участок, где ее значение примерно постоянно. Кривые Tj (t) ₉ Т (t)при возрастании t стремятся к установившемуся значению, равному T ₀.

 

 

Рис. 2.10. Показатели надежности к примерам 2.4, 2.6, 2.10