Производная функции одной переменной

 

Определение производной

Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению ее аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

. (7.1)

Производная функции показывает скорость изменения функции при изменении ее аргумента.

Дифференциал функции находят по формуле:

, (7.2)

где .

Правила дифференцирования

Операцию нахождения производнойназывают дифференцированием.

Основные правила дифференцирования:

, где – число; (7.3)

, где , ; (7.4)

; (7.5)

; (7.6)

. (7.7)

Производные элементарных и сложных функций

Таблица производных элементарных и сложных функций:

Функция	Производная	Функция	Производная
х
x n	nx n- 1
tg x
ctg x
arctg x

Пример 1. Найдите производную функции .

Решение. Согласно правилу запишем:

, .

Так как постоянный множитель можно выносить за знак производной, то получим: .

Используя таблицу производных, будем иметь:

.

Ответ: .

Пример 2. Вычислите значение дифференциала функции , если х изменяется от 10 до 10,01.

Решение. 1. Найдем производную функции:

.

2. Согласно формуле 7.2 запишем дифференциал функции:

.

3. Так как согласно условию задачи , а , то .

Ответ: 2.

Пример 3. Найдите дифференциал функции .

Решение. Применяя правило дифференцирования

,

и используя таблицу производных, получим:

.

Запишем: .

Ответ: .

Пример 4. Найдите производную функции .

Решение. Запишем функцию в виде:

, .

Вынося постоянный множитель за знак производной, и, применяя правило дифференцирования сложной функции

,

получим:

, , , .

Ответ: .

Пример 5. Найдите производную функции .

Решение. Применяя правила и , получим:

, , , . Ответ: .

Пример 6. Найдите , если .

Решение. Применяя правила

и ,

получим: , .

Тогда .

Ответ: 1.

Производная неявной функции

Чтобы найти производную неявной функции , необходимо дифференцировать обе части равенства , считая, что х – независимая переменная, а у – зависимая от х переменная и из полученного уравнения выразить явно .

Пример 7. Найдите производную функции .

Решение. Запишем: . Применяя правила нахождения производной произведения и суммы и, используя таблицу производных, получим:

, , .

Выразим явно :

,

.

Ответ: .

Производная функции, заданной параметрически

Производную функции находят по формуле:

(7.8)

Пример 8. Найдите производную функции , .

Решение. 1. Найдем производные:

, .

2. Согласно формуле 7.8 запишем: .

Ответ: .

Производная показательно-степенной функции

Чтобы найти производную показательно-степенной функции необходимо:

1) прологарифмировать обе части уравнения :

;

2) согласно свойству логарифмов записать:

;

3) найти производные левой и правой части последнего уравнения: , ;

4) выразить явно .

Пример 9. Найдите производную функции .

Решение. 1. Прологарифмируем обе части уравнения:

, .

2. Найдем производные левой и правой части этого уравнения:

, .

3. Выразим явно : .

Ответ: .