Приведем схему исследования функции 
.
1. Находим область определения функции.
2. Определяем, является ли функция четной или нечетной.
3. Выясняем, является ли функция периодической.
4. Находим точки пересечения графика функции с осью ординат.
5. Находим нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).
6. Проводим исследование функции с помощью первой производной:
а) находим критические точки первого рода;
б) находим промежутки возрастания и убывания функции;
в) находим точки экстремума функции и значение функции в точках экстремума.
7. Проводим исследование функции с помощью второй производной:
а) находим критические точки второго рода;
б) находим промежутки выпуклости и вогнутости функции;
в) находим точки перегиба графика функции.
8. Находим асимптоты графика функции.
9. Строим график функции.
10. Находим промежутки знакопостоянства функции: промежутки, на которых функция положительна и промежутки, на которых функция отрицательна.
11. Находим область значений функции.
Пример 11. Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Решение. 1. Запишем область определения функции: 
.
2. Так как 
и 
– симметричное числовое множество, то функция четная. Следовательно, график функции симметричен относительно оси Оу.
3. Функция не периодическая.
4. Так как 
, то график функции пересекает ось ординат в точке 
.
5. Найдем нули функции, решая уравнение 
. По теореме Виета 
и 
. Тогда 
и 
. Следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точках:
, 
, 
и 
.
6. Исследуем функцию с помощью первой производной.
1) Найдем производную функции: 
, 
.
2) Найдем критические точки функции, решая уравнение: 
, 
, откуда 
, 
.
3) Нанесем критические точки на координатную прямую и определим знаки производной функции на полученных промежутках:
|
|
| ||||||||
| Рис. 8.6 |
Из рисунка 8.6 видим, что на промежутках 
и 
функция возрастает, а на промежутках 
и 
функция убывает.
4) Запишем точки экстремума функции:
, 
, 
.
Найдем значение функции в точках экстремума:
, 
, 
.
7. Исследуем функцию с помощью второй производной.
1) Найдем вторую производную функции:
.
2) Найдем критические точки функции второго рода:
, 
, 
.
3) Нанесем критические точки на координатную прямую и определим знаки второй производной функции на полученных промежутках:
| ||||||
| Рис. 8.7 |
Точки перегиба графика функции: .
Функция выпукла вниз на промежутках
.
Функция выпукла вверх на промежутке 
.
8. Найдем асимптоты графика функции.
Так как 
, то наклонных и горизонтальных асимптот нет. И вертикальных асимптот нет.
9. Построим схематически график функции (рис. 8.8):
| |||||||
| Рис. 8.8 |
10. Запишем промежутки знакопостоянства функции:
1) функция положительна (ее график расположен выше оси абсцисс) на промежутках 
;
2) функция отрицательна (ее график расположен ниже оси абсцисс) на промежутках 
.
11. Запишем область значений функции: 
.
Контрольный тест 8
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1. Функция 
убывает на промежутке
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
.
2. Наименьшее значение функция 
принимает в точке с абсциссой
Варианты ответов: 1) 5; 2) 12; 3) 0; 4) 2; 5) 1.
3. Максимальное значение, принадлежащее промежутку 
, функция 
принимает в точке с абсциссой
|
|
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
4. Нормаль, проведенная к графику функции 
в точке 
, имеет вид
Варианты ответов: 1) 
;
2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
5. Касательная к графику функции 
в точке 
имеет вид
Варианты ответов: 1) 
;
2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
6. Наименьшее целое значение, принадлежащее промежутку, на котором функция 
вогнута, равно
Варианты ответов: 1) 8; 2) 9; 3) 12; 4) – 2; 5) 10.
7. Наибольшее значение функции 
на промежутке 
равно
Варианты ответов:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
8. Сумма модулей значений функции 
в точках перегиба равна Варианты ответов: 1) 0; 2) 
; 3) 
; 4) 0,75; 5) 18.
9. Количество целых чисел, принадлежащих промежутку не убывания функции 
, равно
Варианты ответов: 1) 6; 2) 5; 3) 4; 4) 7; 5) бесконечное множество.
10. Функция 
вогнута на промежутке
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
.