Исследование функции и построение графика

Приведем схему исследования функции .

1. Находим область определения функции.

2. Определяем, является ли функция четной или нечетной.

3. Выясняем, является ли функция периодической.

4. Находим точки пересечения графика функции с осью ординат.

5. Находим нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

6. Проводим исследование функции с помощью первой производной:

а) находим критические точки первого рода;

б) находим промежутки возрастания и убывания функции;

в) находим точки экстремума функции и значение функции в точках экстремума.

7. Проводим исследование функции с помощью второй производной:

а) находим критические точки второго рода;

б) находим промежутки выпуклости и вогнутости функции;

в) находим точки перегиба графика функции.

8. Находим асимптоты графика функции.

9. Строим график функции.

10. Находим промежутки знакопостоянства функции: промежутки, на которых функция положительна и промежутки, на которых функция отрицательна.

11. Находим область значений функции.

Пример 11. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение. 1. Запишем область определения функции: .

2. Так как и – симметричное числовое множество, то функция четная. Следовательно, график функции симметричен относительно оси Оу.

3. Функция не периодическая.

4. Так как , то график функции пересекает ось ординат в точке .

5. Найдем нули функции, решая уравнение . По теореме Виета и . Тогда и . Следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точках:

, , и .

6. Исследуем функцию с помощью первой производной.

1) Найдем производную функции: , .

2) Найдем критические точки функции, решая уравнение: , , откуда , .

3) Нанесем критические точки на координатную прямую и определим знаки производной функции на полученных промежутках:

х – – + +

Рис. 8.6

Из рисунка 8.6 видим, что на промежутках и функция возрастает, а на промежутках и функция убывает.

4) Запишем точки экстремума функции:

, , .

Найдем значение функции в точках экстремума:

, , .

7. Исследуем функцию с помощью второй производной.

1) Найдем вторую производную функции:

.

2) Найдем критические точки функции второго рода:

, , .

3) Нанесем критические точки на координатную прямую и определим знаки второй производной функции на полученных промежутках:

х – + +

Рис. 8.7

Точки перегиба графика функции: .

Функция выпукла вниз на промежутках

.

Функция выпукла вверх на промежутке .

8. Найдем асимптоты графика функции.

Так как , то наклонных и горизонтальных асимптот нет. И вертикальных асимптот нет.

9. Построим схематически график функции (рис. 8.8):

10. Запишем промежутки знакопостоянства функции:

1) функция положительна (ее график расположен выше оси абсцисс) на промежутках ;

2) функция отрицательна (ее график расположен ниже оси абсцисс) на промежутках .

11. Запишем область значений функции: .

Контрольный тест 8

Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):

1. Функция убывает на промежутке

Варианты ответов: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

2. Наименьшее значение функция принимает в точке с абсциссой

Варианты ответов: 1) 5; 2) 12; 3) 0; 4) 2; 5) 1.

3. Максимальное значение, принадлежащее промежутку , функция принимает в точке с абсциссой

Варианты ответов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4. Нормаль, проведенная к графику функции в точке , имеет вид

Варианты ответов: 1) ;

2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Касательная к графику функции в точке имеет вид

Варианты ответов: 1) ;

2) ; 3) ;

4) ; 5) .

6. Наименьшее целое значение, принадлежащее промежутку, на котором функция вогнута, равно

Варианты ответов: 1) 8; 2) 9; 3) 12; 4) – 2; 5) 10.

7. Наибольшее значение функции на промежутке равно

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

8. Сумма модулей значений функции в точках перегиба равна Варианты ответов: 1) 0; 2) ; 3) ; 4) 0,75; 5) 18.

9. Количество целых чисел, принадлежащих промежутку не убывания функции , равно

Варианты ответов: 1) 6; 2) 5; 3) 4; 4) 7; 5) бесконечное множество.

10. Функция вогнута на промежутке

Варианты ответов: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .