Линейный дифференциальный оператор и его свойства

Множество функций, имеющих на интервале (a, b) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор Ln(y), который отображает функцию y(x), имеющую производных, в функцию, имеющую k - n производных:

С помощью оператора Ln(y) неоднородное уравнение (20) можно записать так:

Ln(y) = f(x)

однородное уравнение (21) примет вид

Ln(y) = 0)

Теорема Дифференциальный оператор Ln(y) является линейным оператором.

Док-во непосредственно следует из свойств производных:

1. Если C = const, то

2.

Наши дальнейшие действия: сначала изучить, как устроено общее решение линейного однородного уравнения (25), затем неоднородного уравнения (24), и потом научиться решать эти уравнения. Начнём с понятий линейной зависимости и независимости функций на интервале и определим важнейший в теории линейных уравнений и систем объект - определитель Вронского.

9. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (25).

14.5.4.1. Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y(x) для которых Ln(y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y1(x), y2(x) - частные решения (25), то функции Cy, y1(x) + y2(x) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта 14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства, получим

если Ln(y) = 0, то Ln(Cy) = CLn(y) = 0;

если Ln(y1) = 0 и Ln(y2) = 0, то Ln(y1 + y2) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0.

Следствие. Если y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) - тоже частное решение этого уравнения.

Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25).

Теорема 14.5.4.2. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке, то система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Док-во. Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W(x0) является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно C1, C2, …, Cn. Рассмотрим линейную комбинацию функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с этими коэффициентами C1, C2, …, Cn: y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x0, т.е. является решением задачи Коши

,

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) = 0 для . Таким образом, система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Теорема 14.5.4.3. Если определитель Вронского W(x) системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.

Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию .

Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так:

Теорема 14.5.4.4. Если W(x) - определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).