Ниже в таблице сделаем промежуточные расчеты
Таблица
| Дата | Поголовье коров | Ввод (выбытие) поголовья | Время нахождения введенных (выбывших) коров на ферме, месяцев |
| на 1 января 1999 г. | 300 голов | - | |
| на 1 апреля 1999 г. | 330 голов | 330-300 = 30 | 9 (с апреля по декабрь) |
| на 1 июля 1999 г. | 338 голов | 338 – 330 = 8 | 6 (с июля по декабрь) |
| на 1 октября 1999 г. | 320 голов | 320-338 = -18 | 9 (с января по октябрь) |
| на 1 января 2000 г. | 316 голов. | 316-320=-4 | 12 (с января по декабрь) |
где 
– поголовье скота на начало года;
– поголовье введенное;
– поголовье выбывшее;
Т – время нахождения скота на ферме.
Ответ: среднее поголовье коров на ферме равно 313.
9. Имеются следующие данные о выпуске продукции мебельной фабрики:
| Наименование изделий | Изменение выпуска в мае по сравнению с апрелем, % | Выпуск продукции в апреле, млн. руб. qo po |
| Столы | +12 | |
| Диваны | +10 | |
| Стулья | +15 |
Определите увеличение выпуска всей продукции в мае по сравнению с апрелем (в %), т.е. рассчитайте общий индекс физического объема.
Общий индекс физического объема продаж:
Ответ: увеличение выпуска всей продукции в мае по сравнению с апрелем составит 11,9%.
1. Задание: Определите по формуле Стерджесса число групп n в группировке и величины интервала h для группировки с равными интервалами.
Задание 1.1
Определите по формуле Стерджесса число групп п в группировке и величину интервала h для группировки с равными интервалами, если число единиц в совокупности равно 30, а максимальное и минимальное значения признака в совокупности равны соответственно 1100 и 400.
Оптимальная величина интервала определяется по формуле:
|
|
где хmax, хmin – соответственно максимальное и минимальное значение в выборке;
n – количество наблюдений.
Началом интервального ряда принимаем величину:
| Число групп в группировке | Начало интервала | Конец интервала |
| 459,25 | 577,75 | |
| 577,75 | 696,25 | |
| 696,25 | 814,75 | |
| 814,75 | 933,25 | |
| 933,25 | 1051,75 | |
| 1051,75 | 1170,25 |
Ответ: 6 групп в группировке, величина интервала 118,5.
Задание 1.2
Определите по формуле Стерджесса число групп п в группировке и величину интервала h для группировки с равными интервалами, если число единиц в совокупности равно 70, а максимальное и минимальное значения признака в совокупности равны соответственно 35 и 1.
Оптимальная величина интервала определяется по формуле:
где хmax, хmin – соответственно максимальное и минимальное значение в выборке;
n – количество наблюдений.
Началом интервального ряда принимаем величину:
| Число групп в группировке | Начало интервала | Конец интервала |
| -1,385 | 3,385 | |
| 3,385 | 8,155 | |
| 8,155 | 12,925 | |
| 12,925 | 17,695 | |
| 17,695 | 22,465 | |
| 22,465 | 27,235 | |
| 27,235 | 32,005 | |
| 32,005 | 36,775 | |
| 36,775 | 41,545 |
Ответ: 9 групп в группировке, величина интервала 4,77.
Задание 1.3
Определите по формуле Стерджесса число групп п в группировке и величину интервала h для группировки с равными интервалами, если число единиц в совокупности равно 150, а максимальное и минимальное значения признака в совокупности равны соответственно 800 и 20.
Оптимальная величина интервала определяется по формуле:
где хmax, хmin – соответственно максимальное и минимальное значение в выборке;
|
|
n – количество наблюдений.
Началом интервального ряда принимаем величину:
| Число групп в группировке | Начало интервала | Конец интервала |
Ответ: 9 групп в группировке, величина интервала 72.
Задание 1.4
Определите по формуле Стерджесса число групп п в группировке и величину интервала h для группировки с равными интервалами, если число единиц в совокупности равно 250, а максимальное и минимальное значения признака в совокупности равны соответственно 2000 и 120.
Оптимальная величина интервала определяется по формуле:
где хmax, хmin – соответственно максимальное и минимальное значение в выборке;
n – количество наблюдений.
Началом интервального ряда принимаем величину:
| Число групп в группировке | Начало интервала | Конец интервала |
Ответ: 10 групп в группировке, величина интервала 210.
2. Задание: Определите среднее значение по формуле средней арифметической взвешенной.
Задание 2.1
Имеется следующее распределение 60 рабочих по тарифному разряду:
Таблица 2.1
| Тарифный разряд, х | |||||
| Число рабочих, f |
Нужно определить средний тарифный разряд рабочих.
|
|
где 
– тарифный разряд в i-ой группе рабочих;
– число рабочих в i-ой группе
Ответ: средний тарифный разряд рабочих 3,9.
Задание 2.2
Определить по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи акции.
Таблица 2.2
| Курс продажи акции (руб), х | |||
| Количество проданных акций (шт), f |
Средний курс продажи акций равен:
где – курс продажи акций в i-ой группе;
– число акций в i-ой группе
Ответ: средний курс акций 1112,9.
Задание 2.3
Вычислить средний стаж работников рекламного агентства по данным таблицы.
Таблица 2.3
| Стаж работы (годы), х | |||||
| Количество работников (чел),f |
Средний стаж работы равен:
где – стаж работы работников в i-ой группе;
– количество работников в i-ой группе
Ответ: средний стаж работников равен 4,67 года.
Задание 2.4
Определить среднюю долю экспорта предприятий в товарной продукции по данным таблицы.
Таблица 2.4
| Номер предприятия | |||
| Доля экспорта в товарной продукции (%), х | 0,15 | 0,2 | 0,3 |
| Товарная продукция предприятий (млн.руб), f |
Средняя доля экспорта предприятия в товарной продукции равна:
где – доля экспорта в товарной продукции у i-ого предприятия;
– товарная продукция i-ого предприятия.
Ответ: Средняя доля экспорта предприятия в товарной продукции равна 0,276.
3. Задание. Рассчитать дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для дискретного вариационного ряда.
Таблица 3.1
Вычислить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для дискретного вариационного ряда по данным таблицы 3.1.
Таблица 3.1
| Произведено продукции одним рабочим за смену, шт., х | |||||
| Число рабочих, f |
Решение представить в табличной форме.
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение 
,
Для оценки интенсивности вариации рассчитывают коэффициент вариации:
Среднее количество произведенной продукции одним рабочим равно:
Проведем расчет в табличной форме.
|
| 
| 
|
| Итого |
Ответ: среднее квадратическое отклонение равно 1,205 шт; коэффициент вариации составляет 12%.
Задание 3.2
По данным таблицы 2.1 из задания 2 определить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для дискретного вариационного ряда.
Таблица 2.1
| Тарифный разряд, х | |||||
| Число рабочих, f |
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение ,
Для оценки интенсивности вариации рассчитывают коэффициент вариации:
Проведем расчет в табличной форме.
|
|
|
|
|
| 3,61 | 28,88 | ||
| 0,81 | 12,96 | ||
| 0,01 | 0,17 | ||
| 1,21 | 14,52 | ||
| 4,41 | 30,87 | ||
| Итого | 87,4 |
Ответ: среднее квадратическое отклонение равно 1,207; коэффициент вариации составляет 30,95%.
Задание 3.3
По данным таблицы 2.3 задания 2 определить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для дискретного вариационного ряда.
Таблица 2.3
| Стаж работы (годы), х | |||||
| Количество работников (чел),f |
Средний стаж работы равен:
где – стаж работы работников в i-ой группе;
– количество работников в i-ой группе
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение ,
Для оценки интенсивности вариации рассчитывают коэффициент вариации:
Проведем расчет в табличной форме.
|
|
|
|
|
| 2,7889 | 8,366 | ||
| 0,4489 | 0,897 | ||
| 0,1089 | 0,435 | ||
| 1,7689 | 3,537 | ||
| 5,4289 | 5,428 | ||
| Итого | 18,67 |
Ответ: среднее квадратическое отклонение равно 1,556 лет; коэффициент вариации составляет 33,32%.
Задание 3.4
По данным таблицы 2.4 задания 2 определить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для дискретного вариационного ряда.
Таблица 2.4
| Номер предприятия | |||
| Доля экспорта в товарной продукции (%), х | 0,15 | 0,2 | 0,3 |
| Товарная продукция предприятий (млн.руб), f |
Средняя доля экспорта предприятия в товарной продукции равна:
где – доля экспорта в товарной продукции у i-ого предприятия;
– товарная продукция i-ого предприятия.
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение ,
Для оценки интенсивности вариации рассчитывают коэффициент вариации:
Проведем расчет в табличной форме.
|
|
|
|
|
| 0,15 | 0,013689 | 2,73 | |
| 0,2 | 0,004489 | 2,065 | |
| 0,3 | 0,001089 | 0,653 | |
| Итого | 5,456 |
Ответ: среднее квадратическое отклонение равно 0,066; коэффициент вариации составляет 23,91%.
4. Задание. Определите с заданной вероятностью p предельной ошибки выборочной средней и доверительных интервалов при собственно случайном повторном отборе.
Задание 4.1.
Методом случайной повторной выборки было взято для проверки на вес 200 шт. деталей. В результате был установлен средний вес детали 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,954 требуется определить пределы, в которых находится средний вес деталей в генеральной совокупности.
Найдем доверительный интервал, используя формулы:
где 
– средний вес детали, г;
–среднеквадратическое отклонение, г;
– количество изделий в выборке;
– значение, определяемое по таблице Функций Лапласса.
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t значение Ф(tkp) = (0.954/2)=0.477
t (γ) = (0,477) = 2
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес изделия не выйдет за пределы 28,21 ÷ 31,78 г.
Задание 4.2
В порядке случайной повторной выборки было обследовано 900 деревьев, по этим данным установлен средний диаметр одного дерева 235 мм и среднее квадратическое отклонение, равное 27 мм. С вероятностью 0,683 определите границы, в которых будет находиться средний диаметр деревьев в генеральной совокупности.
Найдем доверительный интервал, используя формулы:
где – средний диаметр ствола дерева, мм;
–среднеквадратическое отклонение, мм;
– количество деревьев в выборке;
– значение, определяемое по таблице Функций Лапласса.
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t значение Ф(tkp) = (0.683/2)=0.341
t (γ) = (0,341) = 1
С вероятностью 0,683 можно утверждать, что средний диаметр ствола не выйдет за пределы 234,1 ÷ 235,9 мм.
Задание 4.3
Для определения зольности угля месторождения в порядке случайной повторной выборки из партии было взято 100 проб продукта А. В результате исследования установлена средняя влажность продукта А в выборке 9% при среднем квадратическом отклонении 1,5%. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя влажность продукта А в партии.
Найдем доверительный интервал, используя формулы:
где – средний влажность пробы, %;
–среднеквадратическое отклонение, %;
– количество проб в выборке;
– значение, определяемое по таблице Функций Лапласса.
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t значение Ф(tkp) = (0.954/2)=0.477
t (γ) = (0,477) = 2
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя влажность пробы не выйдет за пределы 8,7 ÷ 9,3 %.
Задание 4.4
Методом собственно-случайной повторной выборки обследована жирность молока у 100 коров. По данным выборки средняя жирность молока оказалась равной 3,64, а среднее квадратическое отклонение составило 1,6%. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя жирность молока.
Найдем доверительный интервал, используя формулы:
где – средняя жирность молока, %;
–среднеквадратическое отклонение, %;
– количество обследованных коров;
– значение, определяемое по таблице Функций Лапласса.
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t значение Ф(tkp) = (0.954/2)=0.477
t (γ) = (0,477) = 2
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя жирность молока не выйдет за пределы 3,32 ÷ 3,96 %.
5. Задание. Рассчитать необходимую численность выборки по формуле бесповторного отбора для собственно-случайного отбора и механического отбора.
Задание 5.1.
В районе А проживает 2000 семей. В порядке случайной бесповторной выборки предполагается определить средний размер семьи при, условии, что ошибка выборочной средней не должна превышать 0,8 человека с вероятностью р = 0,954 и при среднем квадратическом отклонении 2,0 человека.
Численность бесповторной выборки определяется по формуле:
где –среднеквадратическое отклонение;
– значение, определяемое по таблице Функций Лапласса;
- ошибка выборочной средней;
– численность генеральной совокупности.
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t значение Ф(tkp) = (0.954/2)=0.477
t (γ) = (0,477) = 2
Задание 5.2
Для определения среднего размера вклада вкладчиков Сбербанка, где число вкладчиков равно 5000, необходимо провести выборку лицевых счетов методом механического отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение размеров вкладов составляет 120 руб. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит 10 руб.
Численность бесповторной выборки определяется по формуле:
где –среднеквадратическое отклонение;
– значение, определяемое по таблице Функций Лапласса;
- ошибка выборочной средней;
– численность генеральной совокупности.
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t значение Ф(tkp) = (0.954/2)=0.477
t (γ) = (0,477) = 2
Задание 5.3
Для установления среднего возраста 50 тыс. читателей библиотеки необходимо провести выборку из читательских карточек методом механического отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста читателей равно 10 годам. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превысит двух лет.
Численность бесповторной выборки определяется по формуле:
где –среднеквадратическое отклонение;
– значение, определяемое по таблице Функций Лапласса;
- ошибка выборочной средней;
– численность генеральной совокупности.
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t значение Ф(tkp) = (0.997/2)=0.4985
t (γ) = (0,4985) = 2,98
Задание 5.4
На заводе, где работает 10 тыс. рабочих, необходимо установить их средний стаж работы методом механического отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение стажа работы равно 5 годам. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превысит 1,0 года.
Численность бесповторной выборки определяется по формуле:
где –среднеквадратическое отклонение;
– значение, определяемое по таблице Функций Лапласса;
- ошибка выборочной средней;
– численность генеральной совокупности.
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t значение Ф(tkp) = (0.997/2)=0.4985
t (γ) = (0,4985) = 2,98
6. Задание. Рассчитать линейный коэффициент корреляции.
Задание 6.1.
Пусть по 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные о выпуске продукции (х) в тыс. ед. и о расходе условного топлива
(у) в тоннах.
| X | ||||||||||
| У |
С помощью линейного коэффициента корреляции определить наличие связи между расходом топлива x и выпуском продукции у.
Результаты представить в табличной форме.
Для линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции 
, который определяется по формуле:
Для упрощения расчетов линейного коэффициента корреляции промежуточные расчеты проведены в таблице.
|
|
| 
| 
| 
| 
|
| Итого |
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах 
. Чем ближе абсолютное значение 
к единице, тем сильнее связь между факторами. Полученное значение линейного коэффициента корреляции равно 0,958, значит, есть очень тесная связь между количеством расходом топлива и выпуском продукции.
Задание 6.2
По следующим данным определить линейный коэффициент корреляции между возрастом оборудования (продолжительностью эксплуатации) и затратами на его ремонт.
| Возраст оборудования, лет х | ||||||||||
| Затраты на ремонт, тыс. руб., у | 1,5 | 2,0 | 1,4 | 2,3 | 2,7 | 4,0 | 2,3 | 2,5 | 6,6 | 1,7 |
Результаты представить в табличной форме.
Для линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который определяется по формуле:
Для упрощения расчетов линейного коэффициента корреляции промежуточные расчеты проведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
|
| 1,5 | 2,25 | ||||
| 1,4 | 1,96 | ||||
| 2,3 | 13,8 | 5,29 | |||
| 2,7 | 21,6 | 7,29 | |||
| 2,3 | 18,4 | 5,29 | |||
| 2,5 | 17,5 | 6,25 | |||
| 6,6 | 72,6 | 43,56 | |||
| 1,7 | 10,2 | 2,89 | |||
| Итого | 217,1 | 94,78 |
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее связь между факторами. Полученное значение линейного коэффициента корреляции равно 0,886, значит, есть тесная связь между количеством возрастом оборудования и затратами на его ремонт.
Задание 6.3
По следующим данным определить линейный коэффициент корреляции между стажем работы рабочего и выработкой.
| Стаж работы, лет, х | ||||||||
| Выработка за смену, шт. у |
Для линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который определяется по формуле:
Для упрощения расчетов линейного коэффициента корреляции промежуточные расчеты проведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
|
| Итого |
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее связь между факторами. Полученное значение линейного коэффициента корреляции равно 0,87, значит, есть тесная связь между стажем работы рабочего и его выработкой.
Задание 6.4
По следующим данным определить линейный коэффициент корреляции между выпуском готовой продукции на 1 работающего и электровооруженностью труда.
| Выпуск готовой продукции, тыс. руб. x | 6,3 | 6,0 | 7,5 | 8,5 | 4,5 | 6,2 | 7,5 | 8,7 | 6,0 | 3,7 |
| Элсктровооружснность труда, квт. ч. у |
Результаты представить в табличной форме.
Для линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который определяется по формуле:
Для упрощения расчетов линейного коэффициента корреляции промежуточные расчеты проведены в таблице.