Понятие обратной решетки и ее связь с электронограммой

ВВЕДЕНИЕ

Взаимосвязь структуры и свойств материалов – основной вопрос материаловедения.

Для анализа структурных особенностей, т.е. для определения размера зерен в поликристаллических материалах, общего объема и распределения, а также для определения размера различных фаз по объему материала, применяется световая микроскопия.

Электронограмма – это фотографический снимок дифракционной картины, образующейся при рассеянии электронов некоторым объектом. Взаимное расположение и степень почернения пятен на электронограмме дают информацию о структуре объекта. На рисунке 1 приведен пример снимка электронограммы.

В электронографах и электронных микроскопах формируется узкий светосильный пучок ускоренных электронов. Он направляется на объект и рассеивается им, дифракционная картина (или электронограмма) либо фотографируется, либо регистрируется электронным устройством.

Различают следующие типы электронограмм:

1. Электронограммы поликристалла (рисунок 2);

2. Точечные электронограммы с рефлексами в виде пятен (рисунок 3);

3. Электронограммы от текстур с рефлексами в виде колец или дуг (рисунок 4);

4. Электронограммы с Кикучи-линиями (рисунок 5).

Часто получаются электронограммы, являющиеся комбинацией вышеперечисленных типов электронограмм.

Рисунок 1 – Электронограмма эталона NaCl.

Рисунок 2 – Электронограмма поликристалла.

Рисунок 3 – Точечная электронограмма.

Рисунок 4 – Электронограмма от текстуры.

Рисунок 5 – Электронограммы с Кикучи-линиями.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Применение обратного пространства к анализу электронограмм

Понятие обратной решетки и ее связь с электронограммой

Точечную электронограмму можно рассматривать как практически неискаженную проекцию плоскости так называемой обратной решетки на плоскость фотографической пластинки.

Обратная решетка кристалла представляет собой трехмерную периодическую систему узлов, каждый из которых характеризуется вектором Hhkl = + + где – осевые векторы; h, k, l – индексы (координаты) узла.

Точечная электронограмма представляет собой определенную плоскость решетки, обязательно проходящую через начало координат, т.е. узел 000. Плоскость обратной решетки, т.е. двумерная система точек, описывается всегда двумя независимыми индексами.

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка. Дифракционная картина представляет собой карту обратной решетки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решетки [длина]^–1. Кристаллическая решетка – это решетка в обычном, реальном пространстве; обратная решетка – решетка в пространстве Фурье.

Обратному пространству приписывают структуру, отражающую периодичность связанного с ним физического объекта. Так как практически любую непрерывную функцию можно представить как суперпозицию некоторого числа периодических функции – плоских синусоидальных волн, то структуру любого физического тела можно представить как набор волн с вектором = 1 / λ_i, где λ_i – длина волны.

Обратное пространство физического тела и есть пространство таких волновых векторов.

Если рассматривать совершенный кристалл, образованный атомами одного сорта, которые расположены строго периодически, то бесконечное множество направлений в кристаллической решетке оказывается перпендикулярным такому же множеству семейств атомных плоскостей, плотно усеянных атомами и удаленных друг от друга на расстояние d. Такое семейство можно представить одной плоской синусоидальной волной с длинной волны λ = d, если распределение материи в направлении волнового вектора подчиняется тоже простому синусоидальному закону.

Так как в действительности это распределение гораздо сложнее, его можно представить только суперпозицией многих синусоидальных волн. Для сохранения периодичности суммарной волны главное, чтобы сумма длин составляющих волн была меньше d и только в целое число раз, т.е. λ₁ = d, λ₂ = d/2, λ₃ = d/3 и т.д.

Тогда семейству атомных плоскостей в кристалле отвечает в обратном пространстве набор коллинеарных векторов, модули которых кратны обратной величине межплоскостного расстояния в данном семействе.

… = 1/d, 2/d, 3/d …

Точки (концы этих векторов) образуют узловую прямую, перпендикулярную данным плоскостям, и расположены с правильной периодичностью (1/d), как схематически показано на рисунке 1.1. Каждому семейству плоскостей (hkl) в кристалле соответствует свое направление векторов обратного пространства, модуль которых кратен 1/d_hkl или свой узловой ряд с межузельным промежутком (периодом) 1/d_hkl.

На рисунке 1.2 изображен плоский пучок векторов, концы которых образуют узловые ряды, нормальные к атомным плоскостям одной кристаллографической зоны.

Рисунок 1.1 – Взаимная ориентация узловых плоскостей (hkl) в кристалле и узловой прямой в обратном пространстве, содержащей узел с теми же индексами hkl.

Рисунок 1.2 – Узловые плоскости (001) моноклинного кристалла и (001) его обратной решетки. Показаны пунктиром следы плоскостей, перпендикулярных плоскости чертежа. Радиусы-векторы узлов обратной решетки направлены по нормалям к атомным плоскостям, пересекающимся по направлению (001).

Видно, что узлы образуют правильную периодическую плоскую сетку. Периодичности и ориентации в кристалле атомных плоскостей других зон оказываются такими, что их «отражение» узловыми нормалями в обратном пространстве обязательно дает трехмерную периодическую узловую решетку – обратную решетку. Узлы этой решетки, ближайшие к начальному, нулевому узлу, отвечают семействам атомных плоскостей с наибольшими для данного кристалла межплоскостными расстояниями.

Если должным образом выбрать естественную для этой решетки координатную систему и осевые единицы, то координаты всех узлов будут только целыми числами. Такой удобной системой координат оказывается система, в которой осевые векторы связаны с координатными плоскостями (100), (010) и (001) атомной решетки. Межплоскостные расстояния для них равны объему Ω элементарной ячейки (Ω = [ ]) деленному на площадь соответствующей ее грани. Так, для плоскостей {100}:

Отсюда осевые векторы обратной решетки, модули которых обратны этим величинам:

(1)

Эти выражения дают как модули осевых векторов, так и их направления относительно осевых векторов атомной решетки. Для кристаллов кубической, тетрагональной и орторомбической систем одноименные осевые векторы атомной и обратной решеток параллельны один другому, для кристаллов других систем они, как правило, не параллельны. Любой вектор обратной решетки можно представить как векторную сумму его осевых составляющих:

где h, k, 1 – координаты вектора в осевых единицах.

Из выражения (1) вытекают следующие простые соотношения между осевыми векторами атомной и обратной решеток:

Поскольку эти соотношения, как и (1), остаются справедливыми после замены векторов без звездочек векторами со звездочками и наоборот, две решетки взаимно обратны, т.е. и атомная решетка является обратной по отношению к обратной решетке.

Таким образом, была установлена жесткая взаимная связь между периодами, симметрией и ориентировками двух решеток – реальной атомнокристаллической и воображаемой обратной. Во всех случаях обе решетки принадлежат одной и той же сингонии.

Из всего этого можно вынести очень важные правила:

1. Вектор с координатами [hkl]ʹʹ в обратной решетке перпендикулярен атомной плоскости с теми же индексами (hkl); то же относится и к плоскости (UVW) ʹʹ обратной решетки и нормали к ней [UVW] в атомной решетке;

2. Каждому семейству атомных плоскостей (hkl) c межплоскостным расстоянием d отвечает в обратной решетке вектор, перпендикулярный этим плоскостям и имеющий координаты hkl и модуль 1/d.