Модель обратной решетки ОЦК кристалла

На рисунке 2.1-а показана элементарная ячейка атомной решетки ОЦК кристалла.

Осевые единицы обратной решетки равны aʹʹ = bʹʹ = cʹʹ = 1/a и, кроме того, aʹʹ ||а, bʹʹ ||b, cʹʹ ||с.

Найдем узлы обратной решетки на некоторых основных направлениях и построим модель небольшого участка этой решетки.

Межплоскостное расстояние в семействе плоскостей (100), как видно на рисунке 2.1-б, присутствием второго базисного атома с координатами 1/2делится пополам и становится равнымdʹ = d / 2 = 1 / 2.

Модуль радиуса-вектора первого узла на направлении вектора будет | | 2 / а = 2aʹʹ, а его координаты – 200.

Симметрия решетки позволяет по всем трем кубическим осям расположить ближайшие узлы на таких же расстояниях (рисунок 2.1-в).

По направлению [110] межплоскостное расстояние в семействе плоскостей (110), как видно на том же рисунке 2.1-в, составляет dʹʹ = d = / 2 и первый узел на направлении [110]ʹʹ в обратной решетке расположен на расстоянии | | = / 2 = (1 / a) =
=

Очевидно, что координаты этого узла 1aʹʹ 1bʹʹ 0, или в осевых единицах 110. Аналогично расположены на двух других координатных плоскостях узлы 011 и 101 (рисунок 2.1-г).

Как видно на сечении (рисунок 2.1-д), в семействе плоскостей (111) = / 6. Ближайший к нулевому узел обратной решетки на направлении [111ʹʹ] расположен на расстоянии | | = = = (1/a) 2 = и, следовательно, имеет координаты 2aʹʹ 2bʹʹ 2cʹʹ т.е. 222 (рисунок 2.1-е).

На том же сечении (110) видно, что первый узел на направлении [112ʹʹ] встречается на расстоянии | | = (a / 6 = координаты этого узла 1aʹʹ, 1bʹʹ, 2cʹʹ, т.е. 112. Аналогично расположены узлы с координатами 211 и 121 по двум другим направлениям [112ʹʹ]. Расположение всех полученных узлов показано на рисунке 2.1-ж.

Вспомнив сказанное выше о смысле кратных векторов обратной решетки, поместим на трех направлениях типа [110ʹʹ] вслед за ближайшими узлами следующие на удвоенном расстоянии от нулевого узла. Такие узлы будут иметь координаты 220, 202 и 022 и завершат собой построение некоего кубика с центрированными гранями, как видно из рисунка 2.1-з.

Таким образом, обратная решетка ОЦК кристалла является гранецентрированной кубической решеткой с периодом 2aʹʹ.

Если приглядеться к координатам полученных нами узлов обратной решетки ОЦК кристалла 110, 200, 112, 220, 310, 222..., то нетрудно заметить, что сумма координат любого узла оказывается четным числом.

Модель обратной решетки ГЦК кристалла

Рассчитав с учетом присутствия атомов базиса ряд наибольших межплоскостных расстояний dʹ_hkl в ГЦК решетке тем же наглядным модельным путем (рисунок 2.2), что и для ОЦК решетки, и взяв величины, обратные этим dʹ_hkl мы получим ряд модулей | |. Результат виден на рисунке 2.2-г: обратной по отношению к кубической гранецентрированной атомной решетке оказывается кубическая объемноцентрированная решетка с периодом 2aʹʹ.

Рисунок 2.1 – Построение обратной решетки ОЦК кристалла.

Таблица 1

Соотношения для ОЦК решетки

h 2 + k 2 + l 2	hkl
		1,00	–	–
		1,41	1,00	–
		1,73	1,22	1,00
		2,00	1,41	1,15
		2,24	1,58	1,29
		2,45	1,73	1,41

Рисунок 2.2 – Построение модели обратной решетки ГЦК кристалла.

Таблица 2

Соотношения для ГЦК решетки

h 2 + k 2 + l 2	hkl
		1,00	–	–	–	–	–	–	–	–
		1,15	1,00	–	–	–	–	–	–	–
		1,63	1,41	1,00	–	–	–	–	–	–
		1,91	1,66	1,17	1,00	–	–	–	–	–
		2,00	1,73	1,22	1,04	1,00	–	–	–	–

Для типа координат узлов обратной решетки ГЦК кристалла 111, 200, 311, 222... оказывается характерным уже другое правило: все координаты имеют одинаковую четность (или все четные или все нечетные).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Взаимосвязь структуры и свойств материалов – основной вопрос материаловедения. Метод электронной микроскопии остается наиболее информативным и простым для получения полной информации о структуре образца. Освоив основные методики изучения структуры образца с помощью просвечивающего электронного микроскопа и приемы работы на данном оборудовании, будущий специалист приобретет необходимые навыки для дальнейшей профессиональной деятельности. Работа современного инженера-материаловеда без знания основных методик невозможна.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рентгенографический и электронно-оптический анализ: учеб. пособие для вузов / С.С. Горелик, Ю.А. Скаков, Л.Н. Расторгуев. – 3-е изд., доп. и перераб. – М.: МИСИС, 1994. – 328 с.

2. Рентгенофазовый анализ: методические указания по дисциплине «Физико-химические методы исследования» / Сост. Л.Н. Пименова. – Томск: Изд-во Том. архит.-строит. ун-та, 2005. – 14 с.

3. Рентгеновский фазовый анализ: учебное электронное текстовое издание / А.К. Штольц, А.И. Медведев, Л.В. Курбатов. – Екатеринбург: Изд-во УГТУ-УПИ, 2005.

4. Геометрическая теория рассеяния ускоренных электронов на кристаллах. Описание лабораторной работы / Сост. Р.В. Кудрявцева, Д.А. Павлов, П.А. Шиляев. – Н. Новгород: Нижегородский государственный университет, 2003. – 37 с.