Задачи на решение неравенств

В этих задачах существенным дополнительным условием часто является целочисленность переменных.

Пример 12. Рыбаки поймали некоторое количество к рыб, из них 48% окуней. Пять рыб были отпущены в озеро. После этого рыб снова пересчитали. Оказалось, что среди оставшихся оказалось 50% окуней. Сколько рыб было поймано, если известно, что рыбаки поймали не менее 30 рыб и не более 100 ?

Решение. Пусть - количество пойманных рыб, тогда , а количество окуней равно . Чтобы количество окуней было целым, необходимо, чтобы делилось на 25. В указанном промежутке есть только 3 числа, делящиеся на 25. Это числа 50, 75 и 100. Далее среди рыб половина окуней, следовательно, число должно делиться на 2. Это условие будет выполнено только для .

Ответ: 75 рыб.

Пример 13. Около дома посажены липы и березы, причем общее их количество более 14. Если увеличить вдвое количество лип, а количество берез – на 18, то берез станет больше. Если увеличить вдвое количество берез, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше. Сколько лип и берез было посажено?

Решение. Пусть - количество лип, а - количество берез. Из условий задачи получим систему неравенств: . Выразим, например, из всех неравенств и получим систему .

Теперь составим всевозможные цепочки неравенств

.

В этом промежутке есть только 2 целых числа. Это и .

Подставим теперь в систему вначале , получим , и мы видим, что эта система решений не имеет. Теперь подставим в систему , получим . Эта система имеет единственное решение . Т.о., лип было 11, а берез 5.

Ответ: 11 лип и 5 берез.

Пример 14. Известно, что для некоторой квадратичной функции

выполнены неравенства f(-3) < -5, f(-1) > 0, f(1) < 4.

Определить знак коэффициента а.

Решение. Подставляя значения аргумента в функцию, получим систему линейных неравенств: . Для решения таких систем нужно выразить из каждого уравнения одну и ту же переменную. Так как требуется определить знак a, то выражать нужно не a, а например, с.

. Затем из этих неравенств разных знаков составляем все возможные цепочки неравенств. В данном случае их две, так как у нас 2 неравенства «меньше» и одно неравенство «больше». Получаем:

.

Теперь, пропуская с, получаем систему , из которой снова выражаем не а, следовательно, b. .

Снова составляем цепочку: , из которой находим, пропуская b, что .

Ответ: .

Пример 15. Школьник переклеивает свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, если по 23 марки на лист, то, по крайней мере, один лист останется пустым. Если школьнику подарить еще такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Решение. Пусть - количество марок у школьника, а - количество листов в альбоме. Из условий задачи получим систему неравенств и уравнения: . Выражая из уравнения и подставляя в систему неравенств, получим .

Ответ: .

Пример 16. Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4, 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем троек было больше, чем пятерок, и меньше, чем четверок. Кроме того, число четверок делилось на 10, а число пятерок было четным. Определите, сколько каких оценок получила группа.

Решение. Пусть - количество двоек, - количество троек, - количество четверок, - количество пятерок. Из условий задачи получим систему неравенств и уравнений: . Вычитая удвоенное первое уравнение из второго, получим систему

Пусть , тогда

Пусть , тогда и в этом случае система не имеет решений.

Ответ: 11 двоек, 7 троек, 10 четверок и 2 пятерки..

Пример 17. Для перевозки груза затребовали некоторое количество одинаковых машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно были затребованы 4 такие же машины. Вес перевезенного груза был больше 55 т, но не превосходил 64 т. Сколько тонн груза было перевезено на каждом грузовике?

Решение. Пусть - грузоподъемность одной машины, - вес перевозимого груза, а - количество первоначально затребованных машин. Из условий задачи получим систему неравенств и уравнений: Т.о., каждая машина могла перевезти по 3т груза, а перевезла по 2,5т.

Ответ: 2,5т.

Пример 18. В магазине «Мойдодыр» в продаже имеются стиральные порошки в пачках трёх сортов: обычный, необычный и превосходный. Сначала количественное соотношение по сортам было 3: 4: 6. В результате продаж и поставок со склада это соотношение изменилось и стало 2: 5: 8. Известно, что число пачек превосходного порошка возросло на 80%, а обычного порошка уменьшилось не более чем на 10 пачек. Сколько всего пачек порошка было в магазине сначала?

Ответ: 260.

Решение: по условию задачи в магазине было 3n пачек обычного, 4n пачек необычного и 6n пачек превосходного порошка, так что всего было 13 n пачек порошка, причём n – натуральное число. А стало в магазине 2m пачек обычного, 5m пачек необычного и 8m пачек превосходного порошка, причём m – также натуральное число. Для нахождения n и m имеем следующую систему условий:

Решая эту систему условий, получим:

Отсюда находим к = 1, n = 20 и 13n = 260.

Пример 19. Школьник купил в магазине несколько карандашей по 2 рубля и несколько ручек по 5 рублей, потратив на покупки ровно 23 рубля. Сколько карандашей купил школьник, если ручек он купил не менее двух?

Решение: обозначим за m количество купленных карандашей, а за n – количество купленных ручек. Тогда 2m + 5n = 23, причём m и n – натуральные числа. Тогда n – нечётно, не менее 2 и не более 4 (т.к. ). Поэтому n = 3 и, значит, m = 4.

Ответ: 4

Пример 20. Мальчиш Плохиш хочет купить варенье, печенье и конфеты. Если он купит только бочку варенья, то у него останется 3 доллара, если же только корзину печенья – то 4 доллара, а если только коробку конфет, то останется 8 долларов. Хватит ли Плохишу денег, чтобы купить бочку варенья и корзину печенья?

Решение: Обозначим за в стоимость бочки варенья, за n – стоимость корзины печенья, за к – стоимость коробки конфет, а за х – количество денег у Плохиша. Тогда х = в+3, х = п+4, х = к+8. Из второго уравнения имеем х>8. Сложив первое и второе уравнения, получим, что в+п = 2х-7. Если бы денег хватило, то должно выполниться неравенство , что противоречит неравенству . Т.о., Плохишу денег не хватит.

Ответ: Не хватит.

Пример 21. Сколькими нулями оканчивается число (100!)?

Решение: . Заметим, что так как , то, если в разложении числа на простые множители окажется m «двоек» и n «пятёрок», то это число оканчивается k = min { m, n } «нулями». Очевидно, что в разложении на простые сомножители числа «пятёрок» меньше, чем «двоек». Поэтому здесь k = n. Подсчитаем число «пятёрок». Из первых 100 натуральных чисел ровно 100: 5 = 20 чисел делится на 5, а из этих 100 чисел ровно 20: 5 = 4 числа делятся на 5², поэтому k = n = 25 + 4 = 29.

Ответ: 29.

Пример 22. Известно, что p, p+10, p+14 – простые числа.

Найдите p.

Ответ: р = 3.

Решение: заметим, что р = 2 не подходит, а р = 3 – подходит. А при любом р > 3 одно из чисел p+10 и p+14 делится на 3. А именно, если р = 3к +1, то делится на 3 число р + 14, а если р = 3к + 2, то делится на 3 число р + 10.

Пример 23. Найдите двузначное число (или сумму таких двузначных чисел), которое при перестановке цифр местами уменьшается на 24 %

Решение. Пусть наше двузначное число, тогда при перестановке цифр местами получится число . Представим удельный процент в виде обыкновенной дроби: . Тогда по условию задачи или . Отсюда следует, что a = 7, b = 5, а искомое число равно 75.

Ответ: 75.

Домашнее задание № 1

Класс

1. Из города А в город В, расстояние между которыми 205 км, выехал автобус. Через 15 минут навстречу ему из В в А выехал мотоциклист и через 1 час после выезда встретил автобус. С какой скоростью ехал автобус, если известно, что она была на 20 км/ч больше скорости мотоциклиста?

2. Клиент внёс 3000 р. на два вклада, один из которых даёт годовой доход, равный 8%, а другой – 10%. Через год на двух счетах у него было 3260 р. Какую сумму клиент внёс на каждый вклад?

 

3. Из города А в город В, расстояние между которыми 300 км, выехал автобус. Через 20 минут навстречу ему из В в А выехал автомобиль и через 2 часа после выезда встретил автобус. С какой скоростью ехал автомобиль, если известно, что она была на 20 км/ч больше скорости автобуса?

4. Влажность свежескошенной травы 60%, а сена – 20%.

Сколько сена получится из 1 т свежескошенной травы?

5. Сколько граммов сахарного сиропа, концентрация которого 25%, надо добавить к 200 г воды, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 5%?

 

6. На звание лучшей актрисы года претендовало три кандидатки: Цаплина, Червякова, Шалимова. По результатам опроса Шалимова получила в 5 раза меньше голосов, чем Цаплина, а Червякова – в 1,5 раза меньше, чем Цаплина и Шалимова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победительницу?

 

7. Из прямоугольного листа картона, одна сторона которого в 2 раза больше другой, склеили коробку. Для этого по углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см. Найдите размеры листа картона, если объём коробки равен 5000 см³.

 

8. Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 часов. Если первый печник будет работать 2 часа, а второй – 3 часа, то они выполнят только 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая отдельно?

 

9. В первом сплаве содержится 25% меди, а во втором – 45%. В каком отношении нужно взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% меди?

10. Грузовик сначала едет 3 минуты с горы, а затем 7 минут в гору. На обратный путь он тратит 22 минуты. Во сколько раз скорость грузовика при движении с горы больше, чем скорость грузовика при движении в гору?

11. Трое рабочих выполняют некоторую работу. Если бы работали только первый и второй, то работа была бы выполнена за 18 дней. Если бы работали только первый и третий рабочие, то работа была бы выполнена за 12 дней. Если бы работали только второй и третий рабочие, то работа была бы выполнена за 9 дней. За сколько дней выполнят работу все трое рабочих вместе?

 

12. В лаборатории имеется 2 кг раствора кислоты одной концентрации и 6 кг раствора этой же кислоты другой концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, концентрация которого составляет 36%. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Какова концентрация каждого из двух растворов?

13. Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным в полтора раза. Сколько серебра в сплаве?

 

14. Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат свежие абрикосы, если в сушёных абрикосах 25% воды?

 

15. В урне лежали белые и чёрные шары, их число не более 55. Число белых шаров относилось к числу чёрных как 3: 2. После того, как из урны вынули 4 шара, оказалось, что соотношение белых и чёрных равно 4: 3. Сколько всего шаров лежало в урне?

 

16. Известно, что для некоторой функции

выполнены неравенства .

Определите знак коэффициента .

Желаем успехов!