Передаточная функция. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа

Дифференциальные уравнения можно решать различными способами; рассмотрим методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Их можно решать методом вариации произвольных постоянных или операторным методом (то есть, с помощью преобразования Лапласа). Рассмотрим последний метод.

С помощью преобразования Лапласа каждой функции в пространстве оригиналов ставится в соответствие некая функция в пространстве изображений. Переход от оригинала к изображению выполняется по формуле:

, (3-6)

где: - оригинал, ;

- изображение функции-оригинала.

Переменная s является комплексной и имеет вид . Изображение по Лапласу обозначается:

. (3-7)

Рассмотрим пример. Пусть - данная функция называется функцией Хевисайда, она равна нулю при и единице во всех остальных случаях, то есть, представляет собой единичную ступеньку, возникающую в момент времени .

. (3-8)

Прочие примеры приведены в учебнике В.Я. Ротача. Изображение основных функций по Лапласу необходимо выучить наизусть.

Свойства преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа имеет ряд свойств; ряд свойств приводятся ниже.

1. Линейность.

(3-9)

1. Изображение производной оригинала выражается формулой:

. (3-10)

В задачах теории автоматического управления часто , поэтому выражение (4-5) можно переписать следующим образом:

(3-11)

Аналогично можно выразить производные более высоких порядков, при можно записать:

(3-13)

1. Начальное значение оригинала при выражается формулой:

. (3-14)

1. Конечное значение оригинала:

. (3-15)

Передаточная функция. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа

Пусть имеется дифференциальное уравнение динамической системы, выведенное на предыдущей лекции:

. (3-16)

Пусть входное воздействие , а рассматриваемая система до находилась в состоянии покоя, то есть, . Умножим обе части данного дифференциального уравнения на и проинтегрируем от -0 до ∞, то есть, выполним преобразование Лапласа. Тогда получим:

(3-17)

Введем обозначения:

,

. (3-18)

Тогда получим выражение:

, (3-19)

где: W(s) – функция комплексного переменного s, называемая передаточная функция системы (ПФ).

Передаточная функция системы - отношение преобразованной по Лапласу выходной величины системы к преобразованному по Лапласу входному воздействию при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция представляет собой описание объекта, подобно дифференциальному уравнению, но при этом она не имеет физического смысла.

Передаточную функцию системы можно получить по ее дифференциальному уравнению, для этого:

1. Производные в левой и правой частях заменить на s в степени, равной порядку заменяемой производной;
2. Полином, полученной в правой части –является числителем передаточной функции, а полином в левой части – ее знаменателем.

Знаменатель передаточной функции является характеристическим уравнением системы (ХУ). Корни ХУ называются полюсами ПФ.

С помощью преобразования Лапласа решить ДУ можно следующим образом:

1. Преобразовать по Лапласу входное воздействие: ;

2. По дифференциальному уравнению составить передаточную функцию системы;

3. Записать выражение для изображения выходной величины: ;

4. Выполнить обратное преобразование Лапласа и получить оригинал выходной величины системы: .

Обратное преобразование Лапласа выполняется по формуле:

; (3-20)

где: σ – действительное число.