Передаточное отношения для таких механизмов равно

i ₁₂^(h) =(w ₁- w _h)/ (w ₂- w _h) =(n₁-n_h)/ (n₂-n_h), (2.26)

где w₁, w₂, w₃, w_h – угловые скорости центральных колес, сателлита и водила. Вышеприведенная формула носит название формулы Виллиса для дифференциалов.

В механизмах приводов реальных машин колеса могут располагаться последовательно ступенчато и по планетарному принципу.

Одноступенчатые цилиндрические и конические передачи используют обычно при передаточном отношении i £7. При больших значениях i целесообразно применять передачи со скрещивающимися осями и многоступенчатые передачи различной комбинации как с подвижными, так и с неподвижными осями.

 

 

Синтез зубчатых передач с эвольвентным профилем

Зубчатые передачи по форме профиля зуба могут быть: эвольвентные, круговые, циклоидные и т.д. Наибольшее распространение получили передачи с эвольвентным зацеплением,в которых использованы сопряженные зубья с профилем, выполненным по эвольвенте.

Эвольвента- это кривая, геометрическое место центров кривизны которой, представляет собой другую кривую - эволюту. Касательные к эволюте являются нормалями к эвольвенте.

Эвольвента может быть построена обкатыванием по эволюте без скольжения отрезка прямой. Для круглых колес эволютой является окружность с радиусом rв, и эвольвенту, в этом случае, называют эвольвентой окружности (Рисунок 2.26).

 

 

Рисунок 2.26 - Образование эвольвенты профиля зуба

Любая точка на эвольвенте окружности характеризуется радиусом r и углом J, которые равны:

r= r_b /cos a, (2.27)

J= tg a -a. (2.28)

Величину tg a -a называют эвольвентным углом профиля зуба и обозначают

inv a (инволюта a).

Выражения 2.27 и 2.28 называются уравнениями эвольвенты зуба.

Окружность, развертка которой является теоретическим торцовым профилем зуба эвольвентного цилиндрического зубчатого колеса называют основной окружностью. Это эволюта с радиусом r_b, инволюта которой равна нулю.

На рисунке 2.27 представлен зуб, профиль которого очерчен по эвольвенте.

Рисунок 2.27 - Эвольвентный зуб

Из рисунка следует равенство суммы углов

J₁+g₁=J₂+g₂, (2.29)

где J₁=inva₁, J₂=inva₂, g₁=s₁/(2×r₁), g₂=s₂/(2×r₂).

С помощью этого выражения можно получить соотношение толщины зуба по различным окружностям

s₂ =2×r₂× [s₁/(2×r₁)+ inva₁- inva₂]. (2.30)

Для основной окружности inva_b=0, поэтому толщина зуба s _b равна

s_b=2×r_b×[s₁/(2×r₁)+ inva₁]. (2.31)

Для окружностей заострения зубьев s =0, поэтому

inva₀ =s₁/(2×r₁)+ inva₁= s_b /(2×r_b), s_b /(2×r_b)= s₁/(2×r₁)+ inva₁. (2.32)

Одноименные профили расположены на расстоянии шага по основной окружности p_b, который равен

p_b = 2p×r_b / z, (2.33)

где z – число зубьев колеса.

Шаг p любой окружности радиуса r равен

p =p_b / cos a. (2.34)

Схема образования зубчатого зацепления с эвольвентным зубом представлено на рисунке 2.28.

Рисунок 2.28 - Схема образования эвольвентного зацепления

Нормаль nn к сопряженным профилям звеньев, образующих зацепление, касается их основных окружностей в точках А и В и проходит через мгновенный центр вращения в относительном движении звеньев, который называют полюсом зацепления W.

При вращении круглых колес полюс зацепления сохраняет неизменным свое положение. Точка контакта К перемещается в направлении vк по линии АВ, которая является собой линию зацепления. Таким образом, в эвольвентном зацеплении имеет место прямая линия зацепления

Угол aw между линией зацепления и перпендикуляром к линии, соединяющей центры вращения О1 и О2 называется углом зацепления. Он равен углу давления в полюсе зацепления и характеризует направление силы, действующей со стороны одного колеса на другое.

Окружность, которая проходит через полюс зацепления называется начальной.

Радиусы начальных и основных окружностей связаны зависимостями:

rw1=r_в1 /cos a_w, (2.35)

rw2=r_в2 /cos a_w. (2.36)

Расстояние между центрами вращения (межосевое расстояние) аw равно

аw= rw1+ rw2 =(r_в1 + r_в2) /cos aw. (2.37)

Отношение радиусов начальных окружностей сопряженных колес определяет передаточное отношение

i12 = -rw2 /rw1 = -r_в2 /r_в1 =w1/ w2. (2.38)

Это означает, что отношение угловой скорости одного звена (w1) к угловой скорости другого звена (w2) равно отношению радиусов основных окружностей. Из этого следует, что при постоянных r_в1 и r_в2 если изменить межосевое расстояние аw, то изменятся радиусы rw1, rw2 и угол a_w, а i12 останется тем же. Это свойство эвольвентного зацепления свидетельствует о том, что при погрешностях расположения осей с сохранением их параллельности, передаточное отношение остается постоянным (основной закон зацепления).

Часть профиля зуба, выступающая за начальную окружность называется головкой, а часть профиля зуба, которая находится внутри начальной окружности, называется ножкой зуба. Так как размеры зубьев колеса одинаковые, то все головки ограничиваются окружностями выступов d_a, а все ножки – окружностями впадин d_f.

Часть начальной окружности, которая проходит через зуб, называется его толщиной, а та часть начальной окружности, которая проходит через впадину, называется шириной впадины. Дуга начальной окружности, состоящая из одной толщины зуба и одной ширины впадины называется шагом зацепления р (мм), который связан с диаметром начальной окружности зависимостью

р=p×d_w/z, (2.39)

где z – количество зубьев на начальной окружности.

Отношение шага зацепления к числу p называется модулем зацепления m (мм)

m=р/p. (2.40)

Модуль - величина стандартная (ГОСТ 9563 – 60, СТ СЭВ 310 – 76) и через него выражают размеры колес.

Параметры колес передач с эвольвентным зацеплением стандартизованы.

Форма и размеры зубьев устанавливаются по ГОСТ 13755 – 81, в котором описан исходный контур номинальной зубчатой рейки (рисунок 2.29).

Рисунок 2.29 – Исходный и рабочий контур зубчатой рейки по ГОСТ –13755 – 81

 

Для модуля более 1мм исходный контур имеет следующие характеристики: профильный угол a=20°; коэффициент высоты головки зуба h_a*=1; глубина захода h_l=2×h_a*×m; коэффициент радиального зазора с*=0,25; радиальный зазор с= с*×m; радиус закругления у корня зуба r_f=0,4×m;

На основании исходного контура строится рабочий контур, совпадающий с очертаниями впадин исходного контура и служащий для проектирования зуборезного инструмента.

Для колес с наклонным зубом рейки имеют параметры стандартного исходного контура в нормальном сечении (рисунок 2.30).

 

Рисунок 2.30 – Контур рейки с наклонным зубом

В рейке с наклонным зубом b различают величину шага в зависимости от вида секущей плоскости, в которой он рассматривается: торцевой шаг р_t; нормальный шаг р_n и осевой шаг р_x.

Вышеуказанным шагам соответствуют модули: торцовый m_t (m_t = р_t/p); нормальный m_n (m_n=р_t/p) и осевой m_x (m_x = р_x/p), которые связаны между собой следующими зависимостями:

m_t=m_n/cosb; (2.41)

m_x=m_t/tgb=m_n/sinb. (2.42)

Угол профиля зуба a_t (рисунок 2.30) определяют по формуле

a_t =arctg (tg a/cos b). (2.43)

Окружность, по которой перекатывается делительная прямая рейки при обработке, носит название делительной окружности колеса или начальной окружности обработки.

Фактическая величина начальных окружностей устанавливается после сборки колес.

Рисунок 2.31 – Зубчатое эвольвентное зацепление без смещения исходного контура

Основные размеры колес, у которых делительные окружности совпадают с начальными определяются по следующим зависимостям:

- диаметры делительной d и начальной d_w окружностей

d=d_w=m×z/cos b; (2.44)

- высота головки зуба h_а

h_а =m; (2.45)

- диаметр окружности выступов d_а

d_а= d +2×h_а = d+2×m; (2.46)

- высота ножки зуба h_f

h_f=1,25× m; (2.47)

- диаметр окружности впадин d_f

d_f = d-2×h_f = d-2,5×m. (2.48)

Начальные и делительные окружности колеса могут не совпадать. В этом случае

начальные и делительные плоскости производящей рейки также не совпадают (ри-

сунок 2.32).

 

Рисунок 2.32 - Зацепление зубчатого колеса с инструментальной рейкой

 

Расстояние между делительной и начальной плоскостями рейки называют смещением исходного контура. Отношение этого смещения к модулю (m_n=m) называется коэффициентом смещения x. С ростом x толщина зуба s_a дуге окружности d_a уменьшается и увеличивается у основания, а активный участок профиля зуба удаляется от основной окружности d_b. Диаметры основных d_b и делительных d окруж- ностей при этом не меняются.

На рисунке 2.33 изображено зацепление двух колес со смещением исходного контура

Рисунок 2.33 – Эвольвентная цилиндрическая передача со смещением

Исходного контура

Размеры колес со смещением исходного контура устанавливаются по формулам:

- начальные диаметры d_w

d_w1 = 2×a_w/(u±1), (2.49)

d_w2 = 2×a_w×u /(u±1); (2.50)

 

- диаметр окружности выступов d_a

da = d + 2×(ha* +x -Dy)× m, (2.51)

где Dy – коэффициент уравнительного смещения (рисунок 2.32)

Dy=(x₂±x₁)–y, (2.52)

где y – коэффициент воспринимаемого смещения (рисунок 2.33)

y=(a_w-a)/m; (2.53)

- диаметр окружности впадин

df = d –2×(ha* +c* -x)×m, (2.54)

где ha*- коэффициент высоты головки; c* - коэффициент радиаль-

ного зазора; х - коэффициент смещения исходного контура;

- толщина зуба по делительной окружности

s = m× [(p /2) + 2×x×tg a]; (2.55)

- ширина зуба по начальной окружности

s_w = 2×r_w ×[(s /2×r_w) +inv a]. (2.56)

Для колес с углом наклона зуба b размеры определяются по формулам с торцо-

выми параметрами исходного контура и величиной шага pt

pt = p /cos b. (2.57)

В торцовом сечении зубья колес расположены друг относительно друга с угловым шагом t

t=2×p/z. (2.58)

Угол поворота j_а зубчатого колеса передачи от положения входа пары зубьев в зацепление торцового профиля зуба до выхода его из зацепления называется углом торцового перекрытия. Отношение угла торцового перекрытия его к угловому шагу называется коэффициентом торцового перекрытия и обозначается e_a.

Коэффициент торцового перекрытия e_a характеризует соотношение длины активного участка линии зацепления и основного окружного шага. Непрерывность передачи движения от ведущего колеса к ведомому обеспечивается в том случае, когда угол перекрытия больше углового шага t. Обычно рекомендуется e_a =j_а/t ³1.

В прямозубых передачах в зацеплении находится одна или две пары зубьев, Суммарная длина линии контакта l_k равна ширине колеса b_w или 2×b_w, соответственно. В этом случае справедливо условие: 2>e_a >1.

Для зубчатых колес, выполненных инструметом с исходным контуром по ГОСТ 13755 – 81 коэффициент торцового рассчитывают по формуле

e_a=e_а1+e_а2, (2.59)

где e_а1=z₁×(tg a_a1 – tg a_tw)/(2×p); (2.60)

e_а2=z₂×(±tg a_a2tg a_tw)/(2×p); (2.61)

Углы профиля в вершине зубьев a_a1 и a_a2 рассчитывают по формуле:

a_a1 = аrcсos d_b1/d_a1, (2.62)

a_a2 = аrcсos d_b2/d_a2 . (2.63)

В передаче с наклонным зубом линии касания рабочих поверхностей зубьев образуют угол b_b с осями зубчатых колес. В этом случае осевой шаг р_х определяют с учетом угла наклона зуба (р_х =p×m/cosb).

Угол поворота зубчатого колеса косозубой цилиндрической передачи, при котором общая точка контакта зубьев переместится по линии зуба от одного торца к другому называется углом осевого перекрытия j_b.

Отношение угла осевого перекрытия к угловому шагу называется коэффициентом осевого перекрытия e_b (e_b³1,1)

e_b=j_b/t=b_w×sin b/(p×m). (2.64)

При оценке геометрических показателей зубчатой передачи коэффициенты торцового и осевого перекрытия рассматривают совместно.

Полный коэффициент перекрытия e_t

e_t=e_a+e_b. (2.65)

При взаимодействии зубчатых колес должна быть исключена интерференция зубьев, т.е. когда траектория кромки одного зуба в относительном движении пересекает профиль сопряженного зуба. Это происходит при касании профилей вне активного участка линии зацепления. Профильная интерференция отсутствует, если

d_a2£2×(a²_w×sin²a_w+r²_b2)^1/2. (2.66)

Интенсивность изнашивания поверхностей зубьев в зоне контакта во многом зависит от удельного скольжения, которое достигает максимального значения в нижних точках активных профилей зубьев.

Удельное скольжение J_y в заданной контактной точке профиля зуба каждого из сопрягаемых звеньев равно

J_y(1,2)=v_sy(1,2) /v_Fy(1,2), (2.67)

где v_Fy – скорость перемещения точки контакта по профилям сопрягаемых зубьев

v_Fy(1,2) =w_(1,2) ×r_y(1,2), (2.68)

v_sy – скорость скольжения в заданной контактной точке профиля зуба:

v_sy1 =v_Fy1 -v_Fy2, (2.69)

v_sy2 =-v_sy1. (2.70)

Радиус кривизны r_y профиля зуба в заданной точке на концентричекой окружности диаметром d_y равен

r_y(1,2) =0,5×d_y(1,2)× sin a_y(1,2), (2.71)

где a_y – угол профиля в точке на коцентрической окружности диаметром d_y, котрорый вычисляется по выражению

arccosa_y(1,2) =cosa_t ×d_(1,2) /d_y(1,2), (2.72)

Удельное скольжение возрастает с ростом передаточного числа и модуля зацепления возрастает, что приводит к увеличению тепловыделения в зоне контакта и опасности заедания. Рекомендуется применять передачи с ïJï< 3.

Угол между нормалью к профилям и векторам скорости контактной точки ведомого звена называют углом давления.

На величину контактных напряжений оказывает влияние удельное давление. Удельное давление в расчетах передач учитывается коэффициентом удельного давления n, под которым понимают величину отношения модуля зацепления m к радиусу кривизны r конкретной точки.

Коэффициент n удельного давления в полюсе W для прямозубых колес внешнего и внутреннего зацепления рассчитывается по формуле

n =2×(z₂± z₁)/(z₁× z₂×cos a_b×tg a) (2.73)

Коэффициенты: перекрытия ä, учитывающие непрерывность и плавность зацепления; удельного давления в полюсе зацепления, учитывающие влияние кривизны профилей на контактные напряжения, относятся к качественным показателям работы передачи.

Зубчатое зацепление было предложено Л. Эйлером в середине XVIII века, а стало широко использоваться лишь в конце XIX – начале XX веков после того, как был предложен эффективный способ нарезания зубьев. В настоящее время зубчатые колеса изготавливают преимущественно способом огибания. Режущим инструментом является зубчатая рейка (гребенка), червячная фреза или долбяк (Рисунок 2.34).

а) фрезой; б) инструментальной рейкой; в)долбяком; г)червячной фрезой

Рисунок 2.34 - Схемы нарезания зубьев

 

Метод нарезания зубьев копированием (дисковой или пальцевой фрезой) создает впадины в заготовке, профили которых соответствуют профилю инструмента (рисунок 2.34,а). Впадина профрезеровывается по всей ширине колеса, затем поворачивается на угловой шаг и фрезеруется следующая впадина. При нарезании зубьев методом обкатки (инструментальной рейкой – гребенкой, долбяком, червячной фрезой) инструменту и нарезаемому колесу сообщается такое относительное движение (обкатка), как если бы они находились в действительном зацеплении (рисунки: 2.34,б; 2.34,в; 2.34,г). Профиль нарезаемого зуба получается как огибающая всех положений режущей кромки инструмента, т.е. инструмент как бы обкатывает нарезаемое колесо. Процесс изготовления зубчатых колес способом огибания можно рассматривать как зацепление исходного производящего контура инструмента с заготовкой.

Нарезание зубьев колеса может производится без смещения исходного контура и со смещением.

Смещение считается положительным, если делительная плоскость рейки не пересекает делительной поверхности зубчатого колеса, и отрицательным, если пересекает ее.

Отношение смещения к расчетному модулю m цилиндрического зубчатого колеса называют коэффициентом смещения исходного контура и обозначают х₁ и х₂ соответственно для шестерни и колеса.

Смещение, при уменьшении которого возникнет подрезание зубьев, называют наименьшим смещением исходного контура и обозначают x_min. Наименьшее число зубьев, свободное от подрезания при х=0, обозначают z_min.

Отношение х_å суммы смещения колес внешнего зацепления к расчетному модулю называют коэффициентом суммы смещений. Отношение x_d разности смещения колес внутреннего зацепления к расчетному модулю называют коэффициентом разности смещений.

Разность межосевого расстояния a_w цилиндрической зубчатой передачи со смещением и ее делительного межосевого расстояния a называют воспринимаемым смещением, а его отношение к расчетному модулю m – коэффициентом воспринимаемого смещения y.

Разность между суммой или разностью смещений и воспринимаемым смещением называют уравнительным смещением, а его отношение к расчетному модулю – коэффициентом уравнительного смещения Dy.

Коэффициенты смещения определяют по блокирующим контурам и уточняют расчетом. При заданном межосевом расстоянии a_w и числах зубьев колес z₁ и z₂ для эвольвентной передачи внешнего зацепления

x_å = (z₁ + z₂)×(inv a_tw –inv a_t) /(2×tga), (2.74)

где a _tw - угол зацепления передачи в торцовом сечении, который равен

a _tw =arccos (a×cosa_t/a_w) (2.75)

inv a_t и inv a_tw – соответственно эвольвентный угол профиля зуба и эвольвентный угол зацепления передачи в торцовом сечении (для прямозубой передачи inv a_t =inva и inv a_tw =inv a_w).

При нарезании колеса начальная прямая обкатывается без скольжения по делительной окружности, поэтому шаг делительной окружности колеса равен шагу инструмента. На станке режущий инструмент можно расположить с разным смещением m×x относительно заготовки.

Из вышесказанного следует, что коэффициент смещения х исходного контура влияет на характеристики эвольвентного зацепления, геометрические параметры зубчатой передачи и ее качественные показатели. Его минимальная величина x_min определяется из условия отсутствия подрезания, а максимальная x_max - из условия отсутствия заострения (s_a > 0,25×m), т.е. имеет место следующее соотношение

x_min £ x £ x_max, (2.76)

где x_min= (17- z) / 17. (2.77)

Коэффициенты смещения х₁ и х₂, удовлетворяющие ограничениям и требуемым оптимальным значениям качественных показателей, можно определить с помощью блокирующих контуров, которые имеются в справочниках.

Блокирующий контур это совокупность линий, ограничивающих область допустимых значений коэффициентов смещения х₁ и х₂ исходного контура для зубчатой передачи с числом зубьев колес z₁ и z₂. На рисунке 2.35 представлен блокирующий контур эвольвентного зацепления.

Рисунок 2.35 - Блокирующий контур

Разрешенные значения коэфициентов х₁ и х₂ находятся внутри контура. Штриховкой показаны зоны нерекомедуемых значений. Область подрезания зуба шестерни, не вызывающего уменьшения коэффициента перекрытия, ограничена линией 1. Область подрезания зуба колеса, не вызывающего уменьшения коэффициента перекрытия ограничена линией 2. На линии 3 находятся значения минимальных коэффициентов смещения исходного контура для шестерни. На линии 4 находятся значения минимальных коэффициентов смещения исходного контура для колеса. На линии 5 находятся значения ä= ä_a=1. На линии 6 находятся значения ä= ä_a=1,2. На линии 7 находятся значения s_a1=0. На линии 8 находятся значения s_a1=0,25×m. На линии 9 находятся значения s_a1=0,4×m. На линии 10 находятся значения x_min, при котором отсутствует подрезание зуба. Рациональные значения х₁ и х₂ выбирают внутри блокирующего контура в зависимости от требуемых показателей и уточняют расчетом.

Взаимное положение профилей зубьев при нарезании контролируется путем измерения постоянной хорды, длины общей нормали или размеров по роликам (шарикам). Эти размеры проставляются на рабочих чертежах колес.

Постоянная хорда равна расстоянию между точками касания профилей зубьев и боковых сторон рейки при их симметричном расположении относительно оси симметрии зуба (рисунок 2.36).

 

Рисунок 2.36 – Схема замера постоянной хорды: а) для зубчатых колес с внешними зубьями; б) для колес с внутренними зубьями.

Величина постоянной хорды

=(0,5×p×cos²a+x×sin2a)×m (2.78)

Расстояние от постоянной хорды до окружности вершин равно

=0,5×(d_a1- d₁- ×tga) (2.79)

Отрезок касательной к окружности d_b между разноименными профилями, нормальными к этой касательной ирасположенными по разные стороны от точки касания называют общей нормалью (рисунок 2.37).

Длина W общей нормали равна

W=[p×(z_n-0,5)+2х×tga+ z×inva_t]×m×cosa, (2.80)

где z_n – расчетное число зубьев (впадин) в длине общей нормали для зубчатых колес с внешним (внутренним) зацеплением, округленное до целого числа

z_n =(z/p)×[(tga_x/cos²b_b)-(2x×tga/z)-inva_t]+0,5 (2.81)

а) наружные зубья; б) с внутренние зубья; в) косозубое колесе (сечение зубьев колеса плоскостью, касательной к основному цилиндру).

Рисунок 2.37– Схема замера длины общей нормали зубьев цилиндрических колес

 

2.5. Основы прочностного расчета