Определение погрешности найденных решений

Для определения погрешности с которой находятся решения дифференциального уравнения на данном отрезке используется способ двойного счета:

1. Находим значения для всех x_i из отрезка с заданным шагом h.
2. Находим значения для всех x_i из отрезка с шагом h/2.
3. Погрешность каждого найденного определяется по формуле

a) Метод Эйлера: ;

b) Метод Эйлера – Коши: ;

c) Метод Рунге – Кутта:

 

 

Задание

 

1. В среде Mathcad решить данное обыкновенное дифференциальное уравнение на с шагом h и начальным условием :

· Методом Эйлера;

· Методом Эйлера – Коши;

· Методом Рунге – Кутта.

Предусмотреть вывод погрешности каждого шага.

 

Вариант	f(x, y)	x0=a	xn=b	y0	h		Вариант	f(x, y)	x0=a	xn=b	y0	h
1.	x2+sin(y/2)			0,7	0,1		9.	2xy/(x+4)-0,4			1,7	0,2
2.		2,6	4,6	1,8	1,2		10.				2,9	0,2
3.	cos(1,5x-y2)-1,3	-1		0,2	0,2		11.	x+2,5y2+2			0,9	0,1
4.	x2+xy+y2			1,2	0,1		12.	2-sin(x+y)2			2,3	0,1
5.	4,1x-y2+0,6	0,6	2,6	3,4	0,2		13.	x2y-y2			0,6	0,1
6.	1/(1+x3y)+2y	1,5		2,1	0,05		14.	sin(1,5x-y2)	-1		0,2	0,2
7.	2,5x+cos(y+0,6)			1,5	0,2		15.	2x-y2+0,8	0,5	2,5		0,5
8.	x+cos(y/2)	-2	-1		0,1		16.	3+sin(x+y)2	-1			0,2

Тесты

Для метода Эйлера обычного и с двойным просчетом)

f(x,y)=cosy+3x, a=0, b=1, y0=1,3, n=5

x		0,2	0,4	0,6	0,8
y		1,3535	1,5166	1,7674	2,0884	2,4694
e		0,0274	0,0442	0,0533	0,0582	0,0638

 

 

Для метода Эйлера-Коши с двойным просчетом)

f (x,y)=y*(1-x), a=0, b=0,5, y0=1, n=5

x		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
y		1,0095	1,1969	1,2900	1,3766	1,4544
e		0,000004	0,00008	0,00010	0,00013	0,00015

 

Для метода Рунге-Кутта)

f(x,y)=y*(1-x), a=0, b=0,5, y0=1, n=5

x		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
y		1,0997	1,1972	1,2905	1,3771	1,4549

 

Порядок выполнения работы

5.1. Изучить теоретические сведения, необходимые для выполнения заданий.

5.2. Написать текст программы в среде программирования Delphi. Выполнить запуск программы исправить ошибки при их обнаружении.

5.3. Выполнить тестовые задания.

5.4. Выполнить задания, соответствующие вашему варианту (по номеру компьютера).

5.5. Сохранить программу в своей папке.

5.6. Выполнить отчет о работе в письменном виде на листах формата А4.

5.7. Подготовить ответы на контрольные вопросы.

 

Отчет о выполненной работе

6.1. Отчет о выполненной работе должен содержать:

1. Номер и название лабораторной работы.

2. Цели работы.

3. Условия заданий.

4. Тексты программ Вашего варианта с результатами.

6.2. Защита лабораторной работы осуществляется в следующем порядке:

1. Ответы на вопросы преподавателя по выполненным заданиям.

2. Ответы на контрольные вопросы преподавателю.

 

7. Контрольные вопросы

7.1. Дифференциальные уравнения какого вида решаются изученными численными методами?

7.2. Какие данные являются исходными, и что является результатом в программах решения таких дифференциальных уравнений?

7.3. Формула метода Эйлера. Поясните смысл всех параметров и переменных входящих в формулу.

7.4. Формула метода Эйлера-Коши. Поясните смысл всех параметров и переменных входящих в формулы.

7.5. В чем суть метода двойного просчета при решении обыкновенных дифференциальных уравнений?

7.6. Для чего в программах решения дифференциальных уравнений используется двойной просчет?

7.7. Формула метода Рунге – Кутта. Поясните смысл всех параметров и переменных входящих в формулы.

7.8. Какой из изученных методов численного дифференцирования является наиболее точным?

 

Литература

 

1. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. – М.: ACADEMA, 2004.

2. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. – М.: Финансы и статистика,. 2002.

3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

4. Каханер Д., Моулен К., Неш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 2001.

5. Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. – М.: Высшая школа, 1990.

6. Архангельский А.Я. Программирование в Delphi 6. - М.: Бином, 2004.

7. Хомоненко А., Гофман В. и др. Delphi 7. - СПб: БХВ-Петербург, 2004.

8. Delphi. Советы программистам. / Под редакцией В. Озерова. - СПб: Символ, 2003.

9. Культин Н. Основы программирования в Delphi 7. - СПб: БХВ-Петербург, 2004.

10. Жуков А. Изучаем Delphi. - СПб: Питер, 2000.