Лабораторная работа
«Исследование нелинейных систем методом фазовых портретов»
Краткие теоретические сведения
Динамическая система – система произвольной природы (физической, химической, биологической, социальной, экономической и т.д.), для которой однозначно определено понятие состояния, и это состояние меняется во времени согласно некоторому детерминированному закону.
Состояние системы определяется совокупностью некоторых независимых величин. Эти величины принято называть переменными состояния, динамическими переменными, фазовыми переменными. Состав переменных состояния определяется спецификой конкретной динамической системы (ДС). Например, переменными состояния механической системы являются мгновенные значения положений и скоростей всех составляющих ее материальных точек относительно выбранной системы отсчета; для электрического устройства – силы токов в его цепях или падения напряжений на отдельных элементах, для химической реакции – концентрации реагентов и т.д.
Число переменных состояния отождествляется с порядком системы, т.е. вектор состояния имеет определенную размерность: dim x = n. Геометрическое пространство в ортогональном базисе переменных состояния называется пространством состояния или фазовым пространством. Мгновенному состоянию ДС, т.е. состоянию в отдельно выбранный момент времени, соответствует точка в его пространстве состояний, которую принято называть изображающей точкой (ИТ) или фазовой точкой. При изменении переменных состояния во времени ИТ совершает движение в пространстве состояний. Линию в пространстве состояний, которая связывает начальное состояние ДС со всеми ее последующими состояниями с течением времени («след» ИТ) принято называть фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, полученных при различных начальных условиях, есть фазовый портрет ДС.
Состоянием равновесия ДС называют такое ее состояние, при котором переменные состояния системы не изменяются во времени. Каждому состоянию равновесия ДС соответствует точка в ее пространстве состояний, которую обычно называют точкой равновесия, неподвижной точкой или особой точкой.
ДС сопоставляется ее математическая модель, т.е. некоторое формальное математическое описание закона изменения состояния системы во времени. Можно рассматривать математическую модель ДС как оператор эволюции, устанавливающий соответствие между состоянием системы в начальный момент времени с состояниями в последующие моменты времени. Математическая модель может быть задана различными способами: в виде системы дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, дискретных отображений, графов и т.д.
Если состояние системы и оператор эволюции определены для любого момента времени, то ее называют системой с непрерывным временем или непрерывной системой. Часто непрерывную систему называют потоком. Такое понятие основано на аналогии движения системы с течением жидкости: совокупность движущихся ИТ системы можно рассматривать как совокупность движущихся молекул жидкости, т.е. поток. Математическая модель непрерывных систем обычно задается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
| (1) |
или в компактной векторной форме
| (2) |
Данная модель характеризует изменение переменных состояния во времени и обычно называется моделью в переменных состояния. Множество точек равновесия непрерывной ДС определяется из очевидного условия x & i = 0, i =1K n и является решением системы алгебраических уравнений:
| (3) |
Точки равновесия можно расценивать как «организующие центры» динамики системы в пространстве состояний. Таким образом, определив эти точки и оценив характер фазовых траекторий в их окрестности нередко (но далеко не всегда!) можно построить приблизительный фазовый портрет и тем самым получить общую картину поведения ДС.