Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной их отраслей промышленности региона в отчетном году (выборка 20%-ная механическая), млн. руб.
Таблица 1 Исходные данные к задаче
| № предприятия п/п | Затраты на производство продукции | Выпуск продукции | № предприятия п/п | Затраты на производство продукции | Выпуск продукции |
| 1. | 30,255 | 36,45 | 16. | 31,026 | 36,936 |
| 2. | 20,124 | 23,4 | 17. | 42,714 | 53,392 |
| 3. | 38,163 | 46,54 | 18. | 33,62 | 41,0 |
| 4. | 47,204 | 59,752 | 19. | 43,987 | 55,680 |
| 5. | 33,546 | 41,415 | 20. | 15,652 | 18,2 |
| 6. | 22,831 | 26,86 | 21. | 26,394 | 31,8 |
| 7. | 60,984 | 79,2 | 22. | 32,539 | 39,204 |
| 8. | 43,776 | 54,72 | 23. | 45,702 | 57,128 |
| 9. | 33,148 | 40,424 | 24. | 23,89 | 28,44 |
| 10. | 25,376 | 30,21 | 25. | 35,542 | 43,344 |
| 11. | 34,359 | 42,418 | 26. | 54,454 | 70,720 |
| 12. | 51,014 | 64,575 | 27. | 34,302 | 41,832 |
| 13. | 41,806 | 51,612 | 28. | 54,089 | 69,345 |
| 14. | 29,753 | 35,42 | 29. | 30,159 | 35,903 |
| 15. | 14,4 | 30. | 40,678 | 50,220 |
По исходным данным:
1. Постройте статистический ряд распределения организаций по затратам на рубль товарной продукции (определите как отношение денежных затрат к стоимости выпуска продукции), образовав пять групп с равными интервалами.
2. Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.
3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.
Сделайте выводы по результатам выполнения задания.
Решение
1. Для того, чтобы построить статистический ряд распределения организаций по затратам на рубль продукции, образовав пять групп с равными интервалами воспользуемся методом группировки.
В таблице 2 определим затраты на рубль продукции как отношение затрат на производство к выпуску продукции.
Таблица 2 Определение затрат на рубль продукции, руб.
| № предприятия п/п | Затраты на производство продукции | Выпуск продукции | Затраты на рубль продукции |
| 30,255 | 36,45 | 0,83 | |
| 20,124 | 23,4 | 0,86 | |
| 38,163 | 46,54 | 0,82 | |
| 47,204 | 59,752 | 0,79 | |
| 33,546 | 41,415 | 0,81 | |
| 22,831 | 26,86 | 0,85 | |
| 60,984 | 79,2 | 0,77 | |
| 43,776 | 54,72 | 0,80 | |
| 33,148 | 40,424 | 0,82 | |
| 25,376 | 30,21 | 0,84 | |
| 34,359 | 42,418 | 0,81 | |
| 51,014 | 64,575 | 0,79 | |
| 41,806 | 51,612 | 0,81 | |
| 29,753 | 35,42 | 0,84 | |
| 12,528 | 14,4 | 0,87 | |
| 31,026 | 36,936 | 0,84 | |
| 42,714 | 53,392 | 0,80 | |
| 33,62 | 41,0 | 0,82 | |
| 43,987 | 55,680 | 0,79 | |
| 15,652 | 18,2 | 0,86 | |
| 26,394 | 31,8 | 0,83 | |
| 32,539 | 39,204 | 0,83 | |
| 45,702 | 57,128 | 0,80 | |
| 23,89 | 28,44 | 0,84 | |
| 35,542 | 43,344 | 0,82 | |
| 54,454 | 70,720 | 0,77 | |
| 34,302 | 41,832 | 0,82 | |
| 54,089 | 69,345 | 0,78 | |
| 30,159 | 35,903 | 0,84 | |
| 40,678 | 50,220 | 0,81 |
Чтобы сгруппировать предприятия по затратам на рубль продукции, найдем интервал группировки.
,
где хmax — максимальное значение ряда;
хmin — минимальное значение ряда;
n — количество групп (n = 5).
Максимальное и минимальное значение ряда определим с помощью MS Excel. Расчет данных представлен на дискете.
.
Исходя из минимального значения и интервала группировки, определяем, что I группа будет находиться в пределах (0,77; 0,77 + 0,02) или (0,77 – 0,79 включительно) руб.
II группа будет находиться в пределах (0,79 – 0,81) руб.
III группа будет находиться в пределах (0,81 – 0,83) руб.
IV группа будет находиться в пределах (0,83 – 0,85) руб.
V группа будет находиться в пределах (0,85 – 0,87) руб.
Группировочная таблица представлена ниже (таблица 3).
Таблица 3 Группировка предприятий
| Группы предприятий по затратам на рубль продукции, руб. | № предприятий | Затраты на рубль продукции, руб. |
| I (0,77-0,79) | 4,7,12,19,26,28 | |
| Всего | 4,69 | |
| В среднем по группе | 0,782 | |
| II (0,79 – 0,81) | 5,8,17,23,30 | |
| Всего | 4,02 | |
| В среднем по группе | 0,804 | |
| III (0,81 – 0,83) | 3,9,11,13,18,22,25,27 | |
| Всего | 6,55 | |
| В среднем по группе | 0,819 | |
| IV (0,83 – 0,85) | 1,10,14,16,21,24,29 | |
| Всего | 5,86 | |
| В среднем по группе | 0,837 | |
| V (0,85-0,87) | 2,6,15,20 | |
| Всего | 3,44 | |
| В среднем по группе | 0,860 |
Таким образом, статистический ряд распределения имеет следующий вид (таблица 4).
Таблица 4 Статистический ряд распределения затрат на производство продукции
| Группы предприятий по затратам на рубль продукции, руб. | Количество предприятий |
| 0,77-0,79 | |
| 0,79-0,81 | |
| 0,81-0,83 | |
| 0,83-0,85 | |
| 0,85-0,87 | |
| Итого |
2. Построим графики (полигон и гистограмму) полученного ряда распределения. Для этого используем графический метод.
Для построения полигона и гистограммы необходимо определить срединное значение интервала затрат на рубль продукции по формуле:
,
где SН — нижняя граница интервала;
SВ — верхняя граница интервала.
Таблица 5 Определение срединного значения интервала
| Группы предприятий по затратам на рубль продукции, руб. | Срединное значение интервала, руб. | Количество предприятий |
| 0,77-0,79 | 0,78 | |
| 0,79-0,81 | 0,80 | |
| 0,81-0,83 | 0,82 | |
| 0,83-0,85 | 0,84 | |
| 0,85-0,87 | 0,86 |
Рис. 1. Гистограмма затрат на рубль продукции
Рис. 2. Полигон затрат на производство
Мода и медиана могут быть определены графически: первая – по гистограмме, а вторая по кумуляте.
Определим моду по гистограмме (рис. 1). В прямоугольнике, имеющем наибольшую высоту, проводим две линии, как показано на рис.3, и из точки их пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Значение х на оси абсцисс. Значение х на оси абсцисс в этой точке есть мода (Мо). Согласно рис. 3 Мо » 0,82 руб. То есть большинство единиц совокупности имеют затраты на единицу продукции выше 0,82 руб.
Рис. 3. Графическое определение моды
Для графического отыскания медианы по накопленным частотам строим кумуляту. Для этого из верхней границы каждого интервала на оси абсцисс восстанавливаем перпендикуляр, соответствующий по высоте накопленной частоте с начала ряда по данный интервал. Соединив последовательно вершины перпендикуляров, получим кривую, называемую кумулятой (рис. 4).
Таблица 6 Определение накопленных частот
| Группы предприятий по затратам на рубль продукции, руб. | Срединное значение интервала, руб. | Количество предприятий | Накопленные частоты |
| 0,77-0,79 | 0,78 | ||
| 0,79-0,81 | 0,80 | ||
| 0,81-0,83 | 0,82 | ||
| 0,83-0,85 | 0,84 | ||
| 0,85-0,87 | 0,86 | ||
| Итого | х |
Рис. 4. Кумулята распределения 30 предприятий по затратам на рубль продукции (графическое определение медианы)
Из точки на оси ординат, соответствующей половине всех частот (порядковому номеру медианы), проводим прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятурой. Опустив из этой точки перпендикуляр на ось абсцисс, находим значение медианы (Ме). Судя по рис. 4 Ме » 0,81 руб.
3. Далее рассчитаем характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Таблица 7 Данные для расчета показателей вариации
| Группы предприятий по затратам на рубль продукции, руб. | Число предприятий | Расчетные показатели | |||
| fi | xi (ср. значение интервала) | хifi | (хi –  )
| (хi – )2fi
| |
| 0,77-0,79 | 0,78 | 4,68 | -0,04 | 0,009 | |
| 0,79-0,81 | 0,80 | 4,00 | -0,02 | 0,002 | |
| 0,81-0,83 | 0,82 | 6,56 | 0,00 | 0,000 | |
| 0,83-0,85 | 0,84 | 5,88 | 0,02 | 0,003 | |
| 0,85-0,87 | 0,86 | 3,44 | 0,04 | 0,007 | |
| Итого | х | 24,56 | 0,007 | 0,021 |
Вычислим средние затраты на рубль продукции по формуле средней арифметической взвешенной, так как даны частоты усредняемой величины:
руб.
Далее вычислим дисперсию.
руб.
Среднее квадратическое отклонение найдем как по формуле:
руб.
Далее определим коэффициент вариации:
.
Таким образом, колеблемость количества предприятий от среднего значения составляет 3,2 %, это незначительный коэффициент вариации и следовательно, совокупность устойчива и средняя величина является типичной для всей совокупности.
4. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным. Так как здесь не даны частоты изучаемого явления, то средняя будет определяться как средняя арифметическая простая по формуле:
,
где х — затраты на рубль продукции, руб.;
n — количество предприятий.
Тогда 
руб.
Эта средняя ниже полученной в п.3, так как здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:
