Площадь поверхности и объём конуса.

Тема: «Конус. Объём и площадь поверхности конуса »

План

1. Понятие конуса и его основных элементов. Виды сечений конуса.

2. Площадь поверхности и объём конуса.

3. Усеченный конус.

4. Площадь боковой поверхности и объём усечённого конуса.

5. Решение задач.

 

Цели занятия:

· образовательная: сформировать представление о конусе и связанных с ним понятиях, научится вычислять площадь поверхности и объём конуса;

· развивающая: развивать пространственное и логическое мышление, творческую деятельность и мировоззрение;

· воспитательная: воспитывать самостоятельность, ответственность, аккуратность.

Задачи занятия:

· формирование и отработка преставлений о конусе и конической поверхности;

· формирование представлений о сечениях конуса;

· формирование представлений об основных задачах по теме «Конус. Объём и площадь поверхности конуса»;

· отработка знаний и умений в ходе решения задач.

1. Понятие конуса и его основных элементов. Виды сечений конуса.

Определение. Конус – тело, которое состоит из круга – основания

конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и

всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности

основания, называются образующими конуса.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

Точка S – вершина конуса, круг(О,ОА) – основание конуса, SA=SB – образующие конуса.

Отрезок SO – высота конуса - перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

Прямая SO – ось конуса - прямая, содержащая его высоту.

Сечения конуса.

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями.

1) Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то

сечение представляет собой равнобедренный треугольник,

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину.

основание

Осевое сечение конуса - сечение проходящее через его ось.

которого - диаметр основания конуса, а

боковые стороны - образующие конуса. Это сечение

называется осевым.

2) Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром , расположенным на оси конуса. Радиус этого круга равен , где - радиус основания конуса

(из подобия прямоугольных треугольников POM и P .

Виды конусов.

Существуют следующие виды конусов:

1) прямой круговой конус;

2) прямой некруговой конус;

3) непрямой круговой конус.

Если в основании конуса круг, но вершина не проектируется в центр этого круга, то такой конус называют наклонным ( непрямым круговым конусом ). Если же основание – не круг, а произвольная фигура, то такое тело также иногда называют конусом, однако, разумеется, не круговым.

 

Площадь поверхности и объём конуса.

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого

равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине

окружности основания конуса.