Линия тождественных преобразований является одной из четырех основных содержательных линий школьного курса алгебры (учение о числе, функции, уравнения и неравенства, тождественные преобразования). Она является постоянной частью программы и проходит через весь курс школьной математики (входит, по выражению А.Н. Колмогорова, в «ядро» программы).
Основы тождественных преобразований закладываются еще в начальной школе (законы арифметических действий), но это изучение носит предварительный (пропедевтический) характер.
Систематически и углубленно эти вопросы изучаются в курсе алгебры, начиная с седьмого класса. Приведем последовательность изучения тождественных преобразований выражений в школьном курсе алгебры.
При изучении тождественных преобразований любого вида выражений необходимо рассмотреть следующие вопросы:
· теоретические основы преобразований;
· определение (или описание);
· виды преобразований.
Значение темы
Общеобразовательное и развивающее
1. Учащиеся знакомятся:
· с новыми понятиями (тождество, тождественные преобразования, тождественно равные выражения, одночлен, многочлен, рациональная дробь и др.),
· с тождествами:
· с задачами нового содержания: «Прочитать выражение», «Доказать тождество», «Упростить выражение», «Заменить выражение тождественно равным» и др.
Это дает возможность расширить и углубить пользование алгебраической терминологией и символикой.
2. Изучение тождественных преобразований дает возможность постоянно повторять действия с рациональными (в дальнейшем – и с иррациональными) числами, что способствует отработке вычислительных навыков, в том числе и техники устных вычислений.
3. Учащиеся овладевают техникой выполнения тождественных преобразований, т.е. учатся свободно выполнять и обосновывать преобразования.
4. Задания содержат несложные доказательства, что способствует развитию дедуктивного мышления.
5. Изучение тождественных преобразований предоставляет большие возможности для формирования таких качеств математического мышления, как самостоятельность, гибкость, глубина, критичность, рациональность и т. п.
6. Культура выполнения тождественных преобразований характеризуется следующими признаками:
а) прочное знание свойств операций над числами, выражениями;
б) умение правильно обосновывать преобразование;
в) умение следить за изменением области определения в цепочке преобразований;
г) быстрота и безошибочность тождественных преобразований.
В настоящее время есть два взгляда на понятие многочлена:
а) точка зрения абстрактной алгебры (связанная с идеей кольца многочленов над полем)
б) точка зрения математического анализа (многочлен-как синоним целой рациональной функции)
13. Методика изучения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики. Приближенные методы решения уравнений в профильных математических классах.
Общая цель изучения: Овладение учащимися приемами решения уравнений и неравенств как математическим аппаратом решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний и практики.
Распределение линии уравнений и неравенств по классам
| Содержание материала | Класс |
| Решение простейших уравнений на основе правил выполнения арифметических. Решение текстовых задач на составление уравнений. | 5 класс |
| Линейное уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Основные свойства уравнений. Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений. | 6 класс |
| Числовые неравенства и их свойства. Числовые промежутки. Действия над неравенствами. | 6 класс |
| Линейное уравнение с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными. Система линейных уравнений. Аналитические способы решения системы линейных уравнений. Графический способ решения систем линейных уравнений. Решение текстовых задач составлением систем уравнений. Системы неравенств с двумя переменными и их решение. | 6 класс |
| Квадратные уравнения и его корни. Неполные квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Рациональные уравнения. Решение простейших систем уравнений второй степени с двумя переменными. | 8 класс |
| Неравенства второй степени с одной переменной. Решение систем неравенств с одной переменной. Метод интервалов. Решение систем неравенств с двумя переменными. | 8 класс |
| Решение простейших логарифмических и показательных уравнений и неравенств (только для классов с углубленным изучением математики). | 9 класс |
| Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Решение систем тригонометрических уравнений и неравенств. | 10 класс |
| Уравнения и неравенства с модулем. Уравнения и неравенства с параметрами (для профильных классов). | 11 класс |
| Иррациональные уравнения и неравенства (для профильных классов). | 11 класс |
| Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Системы показательных и логарифмических уравнений и неравенств. | 11 класс |
Учебные цели изучения линии уравнений и неравенств
| Категории целей | Примеры обобщенных типов целей | ||
| I уровень | II уровень | III уровень | |
| Знание | Термины, обозначающие виды уравнений и процесс их решения, форму-лы и алгоритмы решения прос-тейших урав-нений, неравенств и их систем, их запись, частные приемы решения текстовых задач с помощью уравнений | Определения видов уравнений и неравенств, формулировки их общих и раз-личных свойств, общие методы и обобщенные приемы их ре-шения и провер-ки, способы записи, общие приемы решения текстовых задач методом реше-ния уравнений | Обоснование методов и при-емов решения уравнений, неравенств и их систем и сово-купностей, об-щи, специаль-ные и искусст-венные приемы их решения и решения задач методом реше-ния уравнений |
| Понимание | Ученик правильно воспроизводит термины, формулы, алгоритмы и частные приемы решения простейших уравнений и неравенств, выполняет простейшие иллюстрации к задачам, приводит примеры | Ученик интерпретирует методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, используя блок-схемы, графики, приводит контрпримеры, подводит уравнение, неравенство, задачную ситуацию под прием решения, выделяет главное в частных и специальных приемах их решения и проверки | Ученик имеет представление об уравнениях и неравествах как моделях разнообразных задач, выделяет идеи обобщенных методов и приемов их решения и связи между ними, выводит следствия, перестраивает известные и находит новые приемы решения уравнений, неравенств и их систем и сово-купностей, текстовых задач |
| Умения и навыки | Умения решать простейшие уравнения и неравенства по формулам, алгоритмам, частным приемам, по образцу или на основе помощи извне, проверять решение подстановкой | Умение решать типовые задачи в стандартных ситуациях, самостоятельно выбирать и использовать формулы, алгоритмы и приемы решения и проверки, составлять простейшие задачи | Умения решать уравнения и неравенства с параметрами, типовые и прикладные задачи методом уравнений и неравенств в нестандартных ситуациях, самостоятельно использовать обобщенные и искусственные приемы решения, проверки и переноса. |