Анализ спектра последовательности прямоугольных импульсов




Лабораторная работа №1.

Представление периодических импульсных

Сигналов рядом Фурье.

Цель работы – Изучение спектрального состава периодической последовательности импульсов прямоугольной формы при различных частотах следования и длительности импульсов.

 

Введение

Для, передачи хранения и обработки информации используются периодические импульсные сигналы, которые могут быть математически представлены рядами Фурье. Существует временное рис.1 и частотное представление электрических сигналов рис.2.

 

Рис.1. Временная форма представления периодической

последовательности прямоугольных импульсов.

 

Представление сигнала во временной области позволяет определить его параметры, энергию, мощность и длительность. Для представления сигналов в частотной области в виде спектра используется преобразования Фурье. Знание частотных свойств позволяет решать задачи идентификации характеристик сигнала (определение его наиболее информативных параметров), фильтрации (выделение полезного сигнала на фоне помех), выбора частоты дискретизации непрерывного сигнала. Одним из важнейших параметров сигнала является ширина частотного спектра, т. к. именно этот параметр оказывается определяющим при согласовании сигнала с аппаратурой обработки и передачи информации.

 

 

Основные формулы и определения.

Периодическую функцию u(t) с периодом T можно представить рядом Фурье

(1)

Колебание с частотой называется первой гармоникой; (n =1) колебание с частотой - второй гармоникой (n =2), c частотой - n-й гармоникой.

Выражение (1) с использованием тождества

может быть переписано в виде

, (2)

где

Коэффициенты и определяется по формулам

(3)

Величина выражает среднее значение функции за период, она, называется также постоянной составляющей и вычисляется по формуле

Формулы (3) решают задачу анализа: по заданной периодической функции нужно найти коэффициенты Фурье и . Формулы (1) и (2) решают задачу гармонического синтеза: по заданным коэффициентам и нужно найти периодическую функцию .

Анализ спектра последовательности прямоугольных импульсов

 

Совокупность амплитуд и частот гармонических составляющих называют амплитудной-частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость от частот гармоник фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). Амплитудно-частотный спектр прямоугольных импульсов может быть представлен графически рис.2.

Рис.2. АЧХ и ФЧХ периодической последовательности

прямоугольных импульсов.

Пусть , представляющая последовательность прямоугольных импульсов рис.1 с амплитудой , длительностью и периодом описывается уравнением

 

 

Тогда амплитуды и фазы для гармонических составляющих определяются уравнением:

для ;

 

(4)

Величина называется скважностью и обозначается буквой . Тогда уравнения (4) принимают вид

где n =1, 2, …. (5)

Для вычисления мощности сигналов представленных рядом Фурье в теории информации используют формулы в которых значение сопротивление R = 1 Ом. В этом случае напряжения u и токи i равны, поскольку i = u/R.

Мощность постоянной составляющей Р0 будет

а мощность переменной составляющей Рn для n-й гармоники

(6)

Формула для результирующей мощности примет вид

 

ЗАДАНИЕ

1. Выполните анализ периодической последовательности прямоугольных импульсов

1.1 По номеру варианта N, полученного у преподавателя, определите из таблицы 1 значение скважности и круговой частоты .

 

Таблица 1

№, вар q , рад/с №, вар q , рад/с
  3,24 47,25   8,50 69,22
  6,52 97,50   6,72 78,59
  5,93 14,45   2,30 19,44
  7,44 15,12   3,59 37,96
  1,87 70,93   4,48 78,27
  5,46 91,65   2,99 42,48
  6,40 86,40   6,18 75,45
  1,27 48,98   1,81 57,64
  2,97 40,13   3,22 15,46
  1,09 85,95   3,66 55,25
  2,13 57,30   3,27 27,58
  7,99 66,90   4,64 3,68
  4,61 31,55   3,71 43,73
  1,95 25,24   4,33 70,44
  2,66 6,61   3,38 52,07
  1,10 18,37   6,92 26,17
  4,06 70,24   4,95 55,52
  2,40 35,10   6,51 82,64
  9,42 33,96   3,32 68,07
  6,13 43,25   7,75 32,49
  7,36 52,37   5,71 26,68
  2,33 24,84   2,42 96,02
  2,18 25,34   16,99 88,59
  5,80 12,99   62,23 50,21
  1,68 41,16   37,54 20,70

 

1.2 а) Определите 11 первых значений коэффициентов un (n=0, 1, 2,..., 10), считая Е=1 В, используя электронные таблицы "Exel" (или калькулятор, или другой программный продукт) по формулам (5) и и внесите их в соответствующую строку un таблицы 2.

1.3 б) Вычислите мощности pn и запишите их в таблицу 2.

Таблица 2

 

w   w1 2w1 10w1
un u0 u1 u2 u10
jn j1 j2 j3 j10
pn p0 p1 p2   p10

u

 

 

и графика амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) рис.3, а).

1.4 Постройте фазо-частотную характеристику (ФЧХ) периодической последовательности импульсов подобно рис.2) в которой изменение знака un эквивалентно сдвигу фазы на p.

 

1.5 Вычислите удельную (на сопротивлении 1 Ом) мощность спектра первых 10 гармоник по формуле

.

2. Задача синтеза.

2.1. Используя уравнение (1), представьте сумму первых 10 гармоник подставив в виде уравнения

по вычисленным в таблице значениям un для , , , …. и постройте временную зависимость на периоде Т, например.

из таблицы 3

 

в виде графика 4 во временном диапазоне одного периода Т= , используя текущее время t = nD t - t/2, с шагом где n=0,1,2, …,10, показанного на рис. 3.

 

Рис. 3. Временной интервал для синтеза сигнала



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: