Степень с действительным показателем




Формулы сложения аргументов

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ

tg(α + β) = tgα + tgβ
1 - tgα tgβ

 

ctg(α + β) = ctgα ctgβ - 1
ctgα + ctgβ

sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ
cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ

tg(α - β) = tgα - tgβ
1 + tgα tgβ

 

ctg(α - β) = ctgα ctgβ + 1
ctgα - ctgβ

5)

Формулы для двойных углов

Для любого угла α справедливы равенства:

sin 2α = 2sinα cosα
cos 2α = cos2α – sin2α = 2 cos2α – 1 = 1 – 2sin2α

Для любого угла α такого, что α ≠ π/2 + πk, α ≠ π/4 + πn/2 (k, n принадлежат множеству Z), справедливо:

tg 2α = 2 tgα/(1 – tg2α)

Для любого угла α такого, что α ≠ πk/2 (k принадлежит множеству Z), справедливо:

сtg 2α = (ctg2α – 1)/(2ctgα)

 

Формулы для половиннных углов

Для любого угла α справедливы равенства:

cos2α/2 = (1 + cos α)/2
sin2α/2 = (1 – cos α)/2

Для любого угла α такого, что α ≠ π + 2πk (k принадлежит множеству Z), справедливо:

tg2α/2 = (1 – cosα)/(1 + cosα)
ctg2α/2 = (1 + cosα)/(1 – cosα)
tgα/2 = sin α/(1 + cosα)
cos α = (1 – tg2α/2)/(1 + tg2α/2)
sin α = (2 tgα/2)/(1 + tg2α/2)

Для любого угла α такого, что α ≠ πk (k принадлежит множеству Z), справедливо:

tgα/2 = (1 – cosα)/(sin α)
ctgα = (1 – tg2α/2)/(2 tgα/2)

Для любого угла α такого, что α ≠ π + 2πk и α ≠ π/2 + πn (k, n принадлежат множеству Z), справедливо:

tg α = (2 tg α/2)/(1 – tg2α/2)

 

Формулы приведения

В таблице даны формулы приведения для тригонометрических функций.

Функция (угол в º) 90º - α 90º + α 180º - α 180º + α 270º - α 270º + α 360º - α 360º + α
sin cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α
cos sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α
tg ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α tg α
ctg tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α ctg α
Функция (угол в рад.) π/2 – α π/2 + α π – α π + α 3π/2 – α 3π/2 + α 2π – α 2π + α

 

7)

Четность тригонометрических функций. Углы φ и —φ образуются при повороте луча в двух взаимно противоположных направлениях (по часовой стрелке и против часовой стрелки).
Поэтому конечные стороны OA1 и ОА2 этих углов симметричны относительно оси абсцисс. Координаты векторов единичной длины OA1 = (х 1, у 1) и ОА2 = (х 2, y 2) удовлетворяют соотношениям: х 2 = х 1 y 2 = — у 1 Поэтому cos(—φ) = cosφ, sin (— φ) = —sin φ, Следовательно, синус является нечетной, а косинус— четной функцией угла.
Далее имеем:
Поэтому тангенс и котангенс являются нечетными функциями угла.

8) Обра́тныетригонометри́ческиефу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

§ аркси́нус (обозначение: arcsin)

§ аркко́синус (обозначение: arccos)

§ аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)

§ арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccotan)

§ арксе́канс (обозначение: arcsec)

§ арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin−1 для арксинуса и т.п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Свойства функции arcsin

(функция является нечётной). при .

при

при

Свойства функции arccos[

· (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.

· при

· при

·

·

·

·

·

 

Свойства функции arctg

·

 

· , при x > 0.

Свойства функции arcctg

· (график функции центрально-симметричен относительно точки

· при любых

·

11)

12)Степенью числа a > 0 с рациональным показателем является степень, показатель которой представим в виде обыкновенной несократимой дроби x = m/n, где m целое, а n натуральное число, причём n > 1 (x - показатель степени).

Степень с действительным показателем

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число — основанием степени, число — показателем степени.

По определению полагают:

  • .
  • .
  • , .

Если и — положительные числа, и — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

14) Логари́фм числа по основанию (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»[1]) определяется[2] какпоказатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: " логарифм по основанию ".

Свойства логарифмов:

- основное логарифмическое тождество.

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

- логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

- логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

- логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

- переход к новому основанию.

 

15)Действительное число - (вещественное число), любое положительное, отрицательное число или нуль. Посредством действительных чисел выражаются результаты измерения всех физических величин.;

16) Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Ко́мпле́ксные[1] чи́сла (устар. мнимые числа[2]) — числа вида , где и — вещественные числа, — мнимая единица; то есть . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается от лат. complex — тесно связанный.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: