Лабораторная работа №1. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Наиболее распространенным методом решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является метод Гаусса.
Метод Гаусса для решения СЛАУ обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:
1) нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;
2) методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;
3) метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса
Пусть задана система из линейных уравнений с неизвестными:
(1.1)
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.
На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход. Суть его заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить систему решений. Если все переменные являются базисными, то единственное решение системы линейных уравнений выражается в численном виде.
Прямой ход. Допустим, что в системе (1.1) коэффициент при в первом уравнении Разделив обе части этого уравнения на , так называемый ведущий элемент, получим равносильную данной систему:
|
(1.2)
где
Исключим с помощью первого уравнения системы (1.2) неизвестное из всех оставшихся уравнений этой системы. Для этого умножим первое уравнение этой системы последовательно на и в том же порядке вычтем полученные из второго, третьего и последующих уравнений системы (1.2). В результате получим равносильную систему вида
(1.3)
где
Таким образом, на первом шаге метода Гаусса переменная исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Допустим, что коэффициент при во втором уравнении системы (1.3) отличен от нуля. В противном случае переставим местами уравнения этой системы, записав вторым другое уравнение с подходящим вторым коэффициентом.
На втором шаге будем считать, что ведущий элемент . Исключим неизвестное с помощью второго уравнения из всех последующих уравнений. Для этого разделим второе уравнение на . Затем умножим последовательно полученное второе уравнение на и вычтем эти результаты из третьего, четвертого и всех оставшихся уравнений.
В итоге получим очередную систему уравнений:
где
Продолжая этот процесс исключения неизвестных, получим либо несовместную, либо совместную систему уравнений. В первом случае в системе будет содержаться уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение вида , где . Во втором случае получим либо систему треугольной формы
(1.4)
либо систему трапециевидной (ступенчатой) формы (раздел 1.2)
(1.5)
Обратный ход. В случае треугольной системы из последнего уравнения (1.4) следует, что Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы (1.4), найдем неизвестное . Подставляя значения и в предыдущее уравнение, найдем значение неизвестного и т.д.
|
Таким образам, если данная система (1.1) с помощью элементарных преобразований приводится к системе треугольной формы, то система имеет единственное решение (т.е. система совместна и определенна).
ПРИМЕР 1.1Решить систему уравнений методом Гаусса
Решение. Построим расширенную матрицу системы
Исключаяс помощью первой строки неизвестное из оставшихся строк, получим: | |||
~ | Исключая неизвестное с помощью второй строки из последующих строк, получим: | ||
~ | Исключаяс помощью третьей строки неизвестное из четвертой строки, получим: | ||
~ | Матрица, а, следовательно, и система уравнений, приведена к треугольному виду. | ||
Так как матрица системы треугольная, то все переменные – базисные, и система имеет единственное решение.
Проверка Ответ .