Пусть 
, 
– базис линейного пространства X над полем K. Тогда для любого вектора 
ÎX справедливо равенство 
= [A ] 
.
Доказательство. Из следствия к теореме 1 получаем: 
([A ] ). Из определения координат
вектора в базисе это и означает, что = [A ] (1).
Выясним теперь, как изменится матрица линейного оператора A, если от базиса пространства X мы перейдем к базису 
того же пространства.
Теорема 3. Пусть и 
базисы линейного пространства X над полем K. Для любого линейного оператора справедливо равенство
[A ] 
= 
[A ] 
(2)
или, что то же самое [A ] = 
[A ] .
Доказательство. Обозначим 
и 
- естолбцы матриц[A ] и [A ] соответственно, т.е. [A ] = 
и [A ] = 
. Очевидно, для того чтобы доказать равенство (2), достаточно доказать, что 
для всех 
, т.к. матрицы, стоящие в обеих частях равенства (2), имеют одинаковое строение. Рассмотрим столбец . Из определения матрицы оператора в базисе получаем:
=[ 
] = [ ] = [ ] [ ] =( [A ] )[ ] = 
для всех , т.к. в координатном столбце вектора в базисе число, стоящее на - ом месте, равно единице, а остальные элементы равны нулю. Здесь мы также воспользовались известными формулами: [ ] = [ ] и [ ] = [ ] и теоремой 2.
Замечание. Напомним, что матрицы перехода связаны соотношениями 
и 
. Поэтому формула (2) может быть записана так: [A ] = [A ] или так: [A ] = 
[A ]
Теорема 4. Пусть – базис линейного пространства X над полем K. Для любых операторов 
и любых чисел l, 
Î K справедливы равенства:
1) 
, т.е. матрица линейной комбинации двух линейных операторов в некотором базисе равна линейной комбинации матриц складываемых операторов в том же базисе и с теми же коэффициентами;
2) 
, т.е. матрица произведения двух операторов в некотором базисе равна произведению матриц сомножителей в том же базисе и в том же порядке.
Доказательство.
1. Обозначим 
, 
и 
- естолбцы матриц[A ] , 
и 
соответственно, т.е.
[A] = 
, = 
и = 
.
Матрицы, стоящие в обеих частях равенства имеют одинаковое строение. Следовательно, достаточно доказать, что 
Рассмотрим столбец . Из определения матрицы оператора
в базисе получаем:
для всех . Здесь мы воспользовались свойствами координат вектора.
Таким образом, первое равенство доказано.
2. Обозначим через 
и 
-е столбцы матриц 
и 
соответственно, т.е. 
, 
.
Очевидно, интересующие нас матрицы имеют одинаковое строение, и, следовательно, равенство 2 будет доказано, если мы покажем, что 
для всех 
.
,
т.к. j-я координата вектора 
в базисе равна 1, а остальные координаты – нули. Здесь мы воспользовались, помимо указанных соображений, определением умножения матриц и ассоциативностью умножения.
Из теорем 1 и 4 вытекает следующая
Теорема 5. Линейно е пространство 
линейных операторов, действующих в 
- мерном
пространстве X над полем K, изоморфно линейному пространству квадратных матриц 
(K) порядка с элементами в K.
Доказательство. Покажем, что отображение 
(K), заданное формулой 
() =[A ] для любого , где – базис линейного пространства X над K, является изоморфизмом линейных пространств.
Как было доказано в теореме 1, – взаимнооднозначное отображение. Из теоремы 4 следует: 
для любых , и любых l, Î K. Следовательно, – изоморфизм линейных пространств.
Следствие. Справедливо равенство 
(K)= 
, т.к. (K)= и 
(K).
Замечание. Умножение матриц некоммутативное. Если бы для любых операторов было бы справедливо равенство 
, то и для любых матриц 
(K) выполнялось бы равенство 
, что как известно, неверно.