Цель: Углубить у учащихся интуитивно-наглядное понятие объема пространственных фигур.
Оборудование: модели призм.
![]() | ![]() |
Разрежьте (пластилиновую модель призмы, плоскостью проходящей через диагональ основания. Какие получили фигуры?
В результате выполнения этого упражнения ученики получили две призмы с равными основаниями (основанием является прямоугольный треугольник), а все остальные соответствующие элементы призмы равны.
Упражнение 2: Как вычислить объем каждой из полученных призм?
Вывод: Каждая из полученных призм имеет объем равный половине объема данного параллелепипеда. (Объем параллелепипеда умеют вычислять в пятом классе).
Упражнение 3:
Дана призма, в основании которой треугольник. Как вычислить объем этой призмы?
Учащиеся умеют вычислять объем призмы основанием которой является
прямоугольный треугольник.
Важно, чтобы учащиеся увидели в этом упражнении предыдущее. Объем данной призмы есть сумма объемов двух призм, основаниями которых являются прямоугольные треугольники.
Затем предлагается вычислить объем призмы основание которой трапеция, или любой
другой произвольной формы.
V = Sосн h
Сборник задач
Задача 1: Запомните пропуски.
В правильной треугольной призме сторона основания равна a, боковое ребро 2a. Найти площадь сечения, проведенного через сторону одного и центр другого основания.
Дано:
АВСА1В1С1 – произвольная призма
АВ = а
АА1 = 2а
Sсеч =?
Решение:
1) Плоскость сечения α определяют прямая … и точка …; проведем сечение.
2) ВС ׀׀ В1С1, значит …
3) α ВС ׀׀ А1В1С1, значит, линия пересечения В2С2 …
|
4) секущая плоскость α имеет с гранью АА1В1В две общие точки В и В2, значит …; а с гранью АА1С1С – точки С и С2, значит …;
5) сечение ВВ2С2С – …, т.к. …;
6) находим высоту О1D трапеции ВВ2С2С, ОD ┴ ВС
7) О1D┴ …
8) ; ВС = а
9) В2С2 =?; Δ А1В2С2 …
10) = …
11) = … (медиана в точке пересечения …)
12) = …;
= ….
13) Из ΔОО1D: О1D2= … + … (…)
14) АD = a sin … = …; OD = 1/3 … = …;
15) О1D2 = … = … = …; О1D = … = …
16) Scеч =
Задача 2: В прямоугольной призме стороны основания равны 5 см, 6 см, 7 см, сечение проведенное через среднюю сторону одного основания и противоположную вершину другого, составляет с основанием угол в 60о. Найти площадь полной поверхности призмы.
Решение: Sп = Sб + 2 Sосн (1)
1) Sб =? Sб = Р l (2), Р = … + … +… = …; 2) из ΔADA1 имеем l = AD … (3);
3) AD - высота ΔAВС, (4);
4) , а = 5 см, b = 6 см, c = … p = ½ …
= …
5) подставим в (4) найденное значение S и ВС: , АD = …
6) подставим в (3) значение AD и tg 60о: l = … = …; 7) подставим в (2) значения P и l: Sб = … = …; 8) подставим в (1) значения Sб и Sосн: Sп = … + … ≈ ….
Задача 3: В прямоугольном параллелепипеде сторона основания равна а и составляет с диагональю основания угол α, а с диагональю грани, которой принадлежит сторона, угол β. Найти площадь боковой поверхности.
Решение: 1) Sб = Р l (2), 2) Р = 2 (… + …); AD = а; 3) АВ =? из ΔAВD имеем АВ = … =… (катет равен …); 4) Р = 2 (…+…) = … = … = … = … 5) l =? из ΔAА1D имеем AА1 = АD…=…; 6) Sб = … = ….
1) Будет ли сечение, перпендикулярное к боковому ребру призмы, перпендикулярно к ее боковой грани?
2) Боковое ребро призмы образует равные острые углы с прилежащими сторонами основания. Что следует сказать о проекции этого ребра на плоскость основания?
|
3) Показать на чертеже расстояние ребра куба от пересекающейся с ним диагоналями куба.
4) Показать в кубе расстояние между а) диагональю основания и перпендикулярной к ней диагональю куба; б) непересекающимися диагоналями непересекающихся граней.
Задача 4: Основанием призмы служит правильный ΔAВС со стороной а, вершина А1 проецируется в центр нижнего основания и ребро АА1 составляет со стороной снования АВ угол 45о. Найти объем.