Модифицированный метод Эйлера.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский технологический университет»

МГУПИ

Кафедра КБ-3 «Управление и моделирование систем»

Отчет №5 о выполнении

Лабораторной работы по предмету

«Численные методы»

Тема: «Численное решение дифференциальных уравнений: метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, метод Рунге-Кутты»

Выполнил:

Студент 2 курса,

Группы БИСО-01-15

№ студ. Билета 15Б0069

Азерский Владислав Дмитриевич

Проверил: Серов В.А.

Москва 2017

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Постановка задачи Коши для ДУ первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка . Требуется найти функцию , удовлетворяющую при дифференциальному уравнению и при начальному условию .

Теорема существования и единственности задачи Коши.

Пусть функция определена и непрерывна на множестве точек .

Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица: для всех и произвольных , , где - некоторая константа (постоянная Липшица).

Тогда для каждого начального значения существует единственное решение задачи Коши, определенное на отрезке .

Геометрически задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной. Заданием начального условия мы выделяем из семейства решений ту единственную кривую, которая проходит через фиксированную точку .

Метод Эйлера.

Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений в точках . Точки , называются узлами сетки, а величина - шагом сетки.

В основе построения дискретной задачи Коши лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом. Простейший метод основан на замене левой части уравнения правой разностной производной: .

Разрешая уравнение относительно , получаем расчетную формулу метода Эйлера: , .

Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера: , при условии, что .

Другими словами погрешность, которую допускает за один шаг метод, стартующий с точного решения. Глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода называют сеточную функцию со значениями в узлах.

В качестве меры абсолютной погрешности метода примем величину .

Можно показать, что для явных одношаговых методов из того, что локальная погрешность имеет вид следует, что , где и M - некоторые константы. Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка точности. Для нахождения решения задачи Коши с заданной точностью требуется найти такое приближенное решение , для которого величина глобальной погрешности .

Так как точное решение задачи неизвестно, погрешность оценивают с помощью правила Рунге.

Правило Рунге оценки погрешностей. Для практической оценки погрешности проводят вычисления с шагами h и h/2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h/2, принимают величину, равную , где p - порядок метода.

Модифицированный метод Эйлера.

Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет усовершенствованный метод Эйлера: .

Этот метод имеет простую геометрическую интерпретацию. Метод Эйлера называют методом ломаных, так как интегральная кривая на отрезке заменяется ломаной с угловым коэффициентом .

В усовершенствованном методе Эйлера интегральная кривая на отрезке заменяется ломаной с угловым коэффициентом, вычисленным в средней точке отрезка .

Так как значение в этой точке неизвестно, для его нахождения используют метод Эйлера с шагом .

Метод Рунге-Кутты.

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины y_i+1 вычисляются по следующим формулам:

y_i+1 = y_i + h (k ₁ + 2 k ₂ + 2 k ₃ + k ₄)/6, i = 0, 1,...
k ₁ = f (x_i, y_i),
k ₂ = f (x_i + h/2, y_i + hk ₁/2),
k ₃ = f (x_i + h/2, y_i + hk ₂/2),
k ₄ = f (x_i + h, y_i + hk ₃).