Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.




Свойства

18.1.2.2. Если сходится ряд (18.2.1), то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

18.1.2.3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при

18.1.2.4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

18.1.2.5. Два сходящихся ряда и можно почленно складывать и вычитать; ряд также сходится, и его сумма равна .

 

18.1.3. Сходимость рядов с положительными членами (положительных рядов). Термином "положительный ряд" мы будем называть числовой ряд с неотрицательными членами: для . Для таких рядов частичная сумма является возрастающей функцией аргумента n.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

18.1.3.1.1. Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда и , для которых, хотя бы начиная с некоторого места (при n > N), выполняется неравенство . Тогда:

если сходится ряд (В), то сходится ряд (А); если расходится ряд (А), то расходится ряд (В).

18.1.3.1.2. Предельная форма признака сравнения. Если существует конечный , то ряды (А) и (В) сходятся или расходятся одновременно.

18.1.3.2.Признак сходимости Коши (радикальный). Пусть для положительного ряда существует . Тогда

если q <1, то ряд сходится,

если q >1, то ряд расходится,

если q =1, то ряд может и сходиться, и расходиться.

18.1.3.3.Признак сходимости Даламбера. Пусть для положительного ряда существует . Тогда

если q <1, то ряд сходится,

если q >1, то ряд расходится,

если q =1, то ряд может и сходиться, и расходиться.

Интегральный признак коши Теорема. Пусть члены положительного числового ряда являются значениями непрерывной монотонно убывающей неотрицательной функции при натуральных значениях аргумента: Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

 

18.1.4. Знакопеременные ряды. Так мы будем называть ряды, которые содержат бесконечные множества как положительных, так и отрицательных членов.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд абсолютных величин его членов. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Если

1. Последовательность, составленная из модулей членов знакочередующегося ряда, монотонно убывает, т.е. ;

2. Выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.е. ,

то ряд сходится.

18.1.5.1. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: .

18.1.5.2. Если сходится ряд, то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

18.1.5.3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при .

18.1.5.4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

18.1.5.5. Два сходящихся ряда можно почленно складывать и вычитать, полученный ряд также сходится, и его сумма равна, соответственно, сумме или разности исходных рядов.

18.1.5.6. Сочетательное свойство сходящегося ряда. Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом: (здесь - строго возрастающая последовательность натуральных чисел), и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: