Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Для условно сходящихся рядов оказывается верным поразительный результат (теорема Римана): для любого числа , можно найти такой порядок членов условно сходящегося ряда, что этот ряд будет сходиться к числу S

18.1.5.8. Умножение рядов. Пусть даны два ряда и . Под произведением рядов (А) и (В) понимается ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов (А) и (В):

.

Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность функций .

независимой переменной х, имеющих общую область определения D. Ряд

называется функциональным рядом.

Определение. Значение , при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости обозначим .

говорят, что ряд сходится равномерно на области G, если для любого числа существует такое натуральное число , одно и то же для всех точек ,что при n > N выполняется неравенство (или, что тоже самое, , где - остаток ряда после n -го члена).

. Если ряд сходится к своей сумме примерно с одинаковой скоростью во всех точках х, то сходимость называется равномерной.

Признак Вейерштрасса. Если существует такой положительный сходящийся числовой ряд , что члены функционального ряда в любой точке удовлетворяют неравенству , то функциональный ряд сходится равномерно в области G.

х

Числовой ряд, удовлетворяющий неравенству , называется мажорирующим рядом, или мажорантой функционального ряда; про функциональный ряд говорят, что он мажорируется числовым рядом.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

18.2.3.1. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Если члены функционального ряда - непрерывные функции, и этот ряд равномерно сходится на отрезке , то сумма этого ряда непрерывна на .

18.2.3.2. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены функционального ряда непрерывны на отрезке , и ряд равномерно сходится к своей сумме на этом отрезке: . Тогда , т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.

18.2.3.3. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены сходящегося ряда - дифференцируемые на отрезке функции, и ряд, составленный из производных , равномерно сходится на . Тогда ряд можно почленно дифференцировать, и , т.е. производная суммы ряда равна сумме ряда из производных.

Степенные ряды.

18.2.4.1. Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где - постоянные (коэффициенты ряда), - фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку .

Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

18.2.4.2. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

1. он абсолютно сходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся ближе к точке , чем );

2. он сходится равномерно на любом отрезке , целиком лежащем на интервале (т.е. на интервале с центром в радиуса ).

3. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R (возможно, ) такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится.

Определение. Число R такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится, называется радиусом сходимости. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.