Статистическую функцию распределения можно строить как по сгруппированным данным, так и по не сгруппированным данным, однако, по не сгруппированным данным она получается более точной. Для построения функции распределения по не сгруппированным данным используется вариационный ряд и функция рассчитывается рекуррентно во всех точках ряда.
Формула теоретической функции распределения нормального закона имеет вид:
Теоретическая функция распределения строится по данным вариационного ряда, нормального закона (в Excel функция =НОРМРАСП).
Расчет статистической и теоретической функции распределения сведен в таблицу 2.2.
№ | Х в.р | F*(x) | F(x) |
1186,229 | 0,004 | 0,011262 | |
1196,445 | 0,008 | 0,014035 | |
1201,07 | 0,012 | 0,015474 | |
1208,578 | 0,016 | 0,018077 | |
1210,216 | 0,02 | 0,018692 | |
1243,176 | 0,024 | 0,035392 | |
1255,579 | 0,028 | 0,044237 | |
1260,517 | 0,032 | 0,04822 | |
1266,046 | 0,036 | 0,053017 | |
1269,311 | 0,04 | 0,056022 | |
………. | ………….. | ………… | ………… |
1673,978 | 0,96 | 0,962719 | |
1677,264 | 0,964 | 0,964894 | |
1677,275 | 0,968 | 0,964901 | |
1692,51 | 0,972 | 0,973663 | |
1694,405 | 0,976 | 0,974612 | |
1698,347 | 0,98 | 0,976496 | |
1699,582 | 0,984 | 0,977061 | |
1723,041 | 0,988 | 0,985811 | |
1760,243 | 0,992 | 0,993826 | |
1828,404 | 0,996 | 0,99893 | |
1887,725 | 0,999818 |
Таблица 2.2.
Сравним графики статистической функции распределения F(x)* и теоретической функции распределения F(x), определенной по нормальному закону.
Рис 2.1
Соответствие функции распределения полученной случайной величины х нормальному закону подтверждается приблизительным совпадением графиков статистической функции распределения и теоретической функции распределения.
2.2.2. Построение статистической и теоретической плотности распределения
Статистическая плотность распределения рассчитывается только по сгруппированным данным. Следовательно, для построения статистической плотности распределения, не сгруппированные данные необходимо сгруппировать. Весь диапазон статистических данных разбивают на L – интервалов с одинаковым шагом и подсчитывают числа реализаций, попавших в каждый интервал .
Чтобы определить оптимальное количество интервалов воспользуемся следующей эмпирической формулой, округлив результат до целого:
Принимаем количество интервалов, равное: .
Длина интервала (его шаг) определяется по формуле: и округляется до 2 - 3 значащих цифр в большую сторону.
А
Принимаем шаг, равный: h = А
Границы интервалов рассчитываем по следующей формуле: .
Далее подсчитываем количество случайных величин mj попавших в каждый интервал.
Статистическая плотность распределения строится в виде гистограммы. Гистограмма строится в виде последовательных прямоугольников, абсциссы которых – выбранные интервалы, а ординаты рассчитываются по формуле: .
Теоретическая плотность распределения строится относительно середин границ интервалов нормальному закону распределения (в Excel функция =НОРМРАСП).
Расчет статистической и теоретической плотности распределения сведен в таблицу 2.3.
№ | gj | mj | gjc | f*(x) | f(x) |
774,3431 | 793,2605 | 0,000378 | 0,000229 | ||
812,1779 | 831,0953 | 0,000378 | 0,000631 | ||
850,0127 | 868,9301 | 0,00151 | 0,001414 | ||
887,8476 | 906,765 | 0,003524 | 0,002584 | ||
925,6824 | 944,5998 | 0,003021 | 0,003848 | ||
963,5172 | 982,4346 | 0,004909 | 0,004671 | ||
1001,352 | 1020,269 | 0,003776 | 0,004622 | ||
1039,187 | 1058,104 | 0,004028 | 0,003727 | ||
1077,022 | 1095,939 | 0,003272 | 0,00245 | ||
1114,857 | 1133,774 | 0,000755 | 0,001312 | ||
1152,691 | 1171,609 | 0,000755 | 0,000573 | ||
1190,526 | 1209,444 | 0,000204 | |||
1228,361 | 1247,278 | 0,000126 | 5,92E-05 | ||
1266,196 |
Таблица 2.3
По рассчитанным значениям построим статистическую и теоретическую плотности распределения.
Рис 2.2
Сравнивая статистическую и теоретическую функции и плотности распределения можно выдвинуть гипотезу, что ток фидера тяговой подстанции переменного тока подчиняется нормальному закону.
2.3. Проверка статистических гипотез о законе распределения.
При ограниченном объеме статистических данных из-за их случайного разброса, как правило, невозможно однозначно ответить на вопрос о соответствии принятой математической модели результатам наблюдений. Такого рода задачи решаются с помощью критериев согласия.
Для проверки справедливости гипотезы, что ток фидера тяговой подстанции переменного тока подчиняется нормальному закону, используем два критерия согласия: критерий Колмогорова и критерий Пирсона.