Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта»

Прохождение частиц через потенциальные барьеры представ­ляется на первый взгляд парадоксальным. Эту парадоксальность усматривают в том, что частица, находящаяся внутри потенциаль­ного барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера U_m, должна иметь отрицательную кинетическую энергию , и полная энергия, как это имеет место в классической меха­нике, является суммой энергий кинетической и потенциальной:

В области, где, U (х) >Е, это бессмысленно, так как импульс р есть действительная величина. Как раз эти области, как мы знаем из классической механики недоступны для частицы. Между тем, согласно квантовой механике, частица может быть обнаружена и в этой «запретной» области. Таким образом, полу­чается, будто квантовая механика приводит к выводу, что кине­тическая энергия частицы может быть отрицательной, а импульс частицы мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннель­ного эффекта».

На самом деле здесь нет никакого парадокса, а сам вывод неверен. Дело в том, что, поскольку туннельный эффект есть явление квантовое (при ħ → 0 коэффициент прозрачности D (24) стремится к нулю), постольку он может обсуждаться лишь в рам­ках квантовой механики. Полную же энергию частицы можно
рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий
только на основе классической механики. Формула
предполагает, что одновременно знаем величину как кинетиче­ской энергии Т, так и потенциальной U{х). Иными словами, мы приписываем одновременно определенное значение координате частицы х и ее импульсу р, что противоречит квантовой меха­нике. Деление полной энергии на потенциальную и кинетическую
в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоятелен и парадокс, основанный на возможности представить полную энергию Е как сумму кинетической энергии (функция импульса) и потенциальной энергии (функция координат).

Остается лишь посмотреть, не может ли все же оказаться так, что путем измерения положения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера, в то время как ее полная энергия меньше высоты барьера. I

Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно, даже если E<.U_m; однако если фиксируется координата частицы х, при этом создается, согласно соотношению неопределенности, дополнительная дисперсия в импульсе так что уже нельзя утверждать, что энергия частицы, после того как определили ее положение, равна Е.

Из формулы для коэффициента прозрачности следует, что частицы проникают заметным образом лишь на глубину I, определяемую равенством (23). Чтобы обнаружить частицу внутри барьера, мы должны фиксировать ее координату с точностью ∆x < l. Но тогда неизбежно возникает дисперсия импульса

Подставляя сюда l² из (23), находим (2.1)

т. е. изменение кинетической энергии частицы, вносимое вмешательством измерения, должно быть больше той энергии, кото­рой ей недостает до высоты барьера U_m. Приведем еще пример, иллюстрирующий это утверждение. Определить координату частицы, находящейся внутри потенциального барьера таким путем, что будем посылать - узкий пучок света в направлении, перпендикулярном к направлению движения частицы. Если пучок рассеется, то значит, на его пути попалась частица.

Как объяснялось выше, точность нашего измерения должна быть такова ∆X<l;с другой стороны, нельзя создать пучок света, ширина которого была бы меньше длины световой волны λ а следовательно, длина волны света должна быть меньше l, т. е.

(2.2)

так как , где ω—частота световых колебаний, а с- скорость света, то отсюда следует, что

Встречающиеся в нерелятивистской механике энергии должны быть меньше собственной, энергии частицы μс², поэтому

(2.3)

т. е. энергия применяемых в световом пучке квантов света должна быть больше, нежели разность между высотой потенциального барьера и энергией частицы. Таким образом, этот пример иллюстрирует положение о необходимости применить для измерения координаты приборы, обладающие достаточно боль­шой энергией, чтобы можно было локализовать частицу.