Метод узловых и контурных уравнений Кирхгофа

Расчет сложных электрических цепей постоянного тока

 

 

1 Цель работы:

 

· изучить алгоритм расчета сложных электрических цепей методом узловых и контурных уравнений (уравнений Кирхгофа) и методом контурных токов;

· рассчитать сложную электрическую цепь методом контурных токов.

 

 

2 Средства обучения:

 

· курс лекций по дисциплине «Электротехника».

· методические указания к практической работе.

· учебно-методическая разработка «Примеры решения задач и задачи для типового расчета сложных электрических цепей».

 

 

Теоретическое обоснование

 

Сложной электрической цепью называют цепь, содержащую две и более ветвей с источниками электрической энергии.

Расчет сложной электрической цепи, когда известны конфигурация цепи и параметры ее элементов, состоит в нахождении токов и напряжение во всех ветвях, а также мощности на участках цепи. Эта задача может быть решена с помощью уравнений Кирхгофа.

 

Метод узловых и контурных уравнений Кирхгофа

 

Данный метод основан:

· на первом узловом уравнении Кирхгофа, вид которого прописан в выражении:

= 0, (1)

 

где ΣI_к – алгебраическая сумма токов сходящихся в узле, А;

k – номер тока.

 

Токи, направленные к узлу, условно принимаются положительными; токи направленные от узла к отрицательными.

 

· на втором контурном уравнении Кирхгофа:

 

= * I_р, (2)

 

где ΣЕ_р – алгебраическая сумма ЭДС в контуре электрической цепи, В;

ΣR_р * I_р – алгебраическая сумма падений напряжений на участках контура, В;

k, р – номер ЭДС, сопротивлений и токов цепи.

 

ЭДС, направления которых совпадают с выбранными направлениями обхода контура, принимаются положительными, в противном случае – отрицательными. При записи правой части равенства, со знаком плюс берутся падения напряжений в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода контура, в противном случае – со знаком минус.

Расчёт сложной электрической цепи методом уравнений Кирхгофа производится согласно алгоритму:

· определите общее количество узловых и контурных уравнений: их число должно быть равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей;

· задайтесь произвольным направлением токов в ветвях (если в итоге значение какого-либо тока получается отрицательным, то действительное направление не совпадает с выбранным);

· обозначьте узлы и составьте уравнения для них (согласно формуле (1). Их число должно быть на единицу меньше общего числа узлов;

· количество контурных уравнений (q) определяется из выражения:

 

q = b – (y – 1), (3)

 

где b – количество ветвей;

y – количество узлов.

 

· обозначьте контуры и задайтесь произвольным направлением обхода контуров. Контуры необходимо выбирать так, чтобы каждый из них отличался хотя бы одной ветвью;

· составьте уравнения для контуров (согласно формуле (2);

· решите систему уравнений, тем самым определите токи в ветвях;

· составьте баланс мощностей для заданной схемы, согласно уравнению (4). Обе части равенства выражены в формуле (5).

Из закона сохранения энергии для любой простой электрической цепи должно выполняться равенство:

= , (4)

 

или

 

* I_k = * R_p, (5)

 

где ΣР_ист – алгебраическая сумма мощностей источников электрической энергии, Вт;

ΣР_пр – алгебраическая сумма мощностей приёмников (резисторов), Вт;

I_k – ток в ветви с источником энергии, А;

I_p – ток в ветви с приёмником (резистором), А;

R_p – сопротивление приёмника (резистора), Ом.

 

При наличии внутреннего сопротивления источника (R_внутр) в правую часть уравнения (10) вводится слагаемое:

 

P_внутр = I² * R_внутр , (6)

 

где Р_внутр – мощность потерь внутри источника, Вт.

В левой части уравнения (5) со знаком плюс записываются те слагаемые, для которых направления ЭДС и тока совпадают, в противном случае эти слагаемые записываются со знаком минус. Если равенство (4) не выполняется, то расчёт цепи произведён неверно.