Отчет по практическим работам

« ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ В РАЗЛИЧНЫЕ

ПЕРИОДЫРАБОТЫТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ »

Вариант 0

Выполнил:

Студент группы АМС-41

Шифр 34567

Пилюгин Николай

Проверил:

Новоселов В.Г.

Екатеринбург

1. Экспоненциальное распределение

Задача 1. Время работы узла до отказа подчинено экспоненциальному распределению. На основании исходной информации требуется:

1) Определить значения и построить графики для следующих показателей P (t), F (t), f (t) для t=20000, 30000, 40000, 50000 и 60000 ч.

2) Определить значения следующих показателей T₁ и T_γ

(при γ = 80%). Параметр распределения составляет λ.

Исходные данные по вариантам

Вариант
λ,ч^-1 · 10^-5	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0

Количественные характеристики безотказности определяются по следующим выражениям:

1) Вероятность безотказной работы

P(20000) = e^- ^λ ^t= e^- ^3,1*^{20000*0.00001}=0,54

P(30000) = e^- ^λ ^t= e^- ^3,1*^{30000*0.00001}=0,39

P(40000) = e^- ^λ ^t= e^- ^3,1*^{40000*0.00001}=0,29

P(50000) = e^- ^λ ^t= e^- ^3,1*^{50000*0.00001}=0,21

P(60000) = e^- ^λ ^t= e^- ^3,1*^{60000*0.00001}=0,15

2) Функция распределения наработки до отказа

F (t) = 1 – e^{- λ}^t =1 – P(t)

F (20000) = 1 – e^{- λ}^t =1 – 0,54=0,46

F (30000) = 1 – e^{- λ}^t =1 – 0,39=0,61

F (40000) = 1 – e^{- λ}^t =1 – 0,29=0,71

F (50000) = 1 – e^{- λ}^t =1 – 0,21 =0,79

F (60000) = 1 – e^{- λ}^t =1 – 0,15=0,75

3) Плотность распределения наработки до отказа (ч^-1).

ƒ(t) = λ e^-^λ^t= λ P(t)

ƒ(20000) = λ e^-^λ^t= 3.1*0.00001* 0.54=1,64*10^-5

ƒ(30000) = λ e^-^λ^t= 3.1*0.00001* 0.39=1,2*10^-5

ƒ(40000) = λ e^-^λ^t= 3.1*0.00001* 0.29=0,89*10^-5

ƒ(50000) = λ e^-^λ^t= 3.1*0.00001* 0.21=0,65*10^-5

ƒ(60000) = λ e^-^λ^t= 3.1*0.00001* 0.15=0,46*10^-5

4) Средняя наработка до отказа (ч).

= 32258 ч

5) Гамма-процентная наработка до отказа (ч).

Гамма-процентная наработка до отказа связана с вероятностью безотказной работы формулой

С учетом того, что P (t) = e^{- λ t} после логарифмирования получим

Отсюда при γ = 80% окончательное выражение для Tγ примет вид

= = 7196 ч

Задача 2. Оценить вероятность P(t) отсутствия внезапных отказов механизма в течение наработки t, если интенсивность отказов составляет λ= 10^-5 ч^-1.

Исходные данные по вариантам

Вариант
t, ч · 10³

При λ t ≤ 0,1 вероятность безотказной работы P (t) определяется по приближенной зависимости.

P(t) =1 – λt = 1-10^-5*1000=0,99

Задача 3. Машина состоит из 4 основных узлов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу всей машины. Известно число отказов узлов n₁,n₂, n₃, n₄соответственно в течение t₁, t₂, t_3, t₄ часов работы. Требуется определить наработку на отказ машины в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из 4 узлов.

Исходные данные по вариантам

Вариант
n₁(t₁)
n₂(t₂)
n₃(t₃)
n₄(t₄)
(t₁),ч^-1· 10³
(t₂),ч^-1 · 10³
(t₃),ч^-1 · 10³
(t₄),ч^-1 · 10³

1.Интенсивность отказов любого элемента при постоянном ее значении на заданном интервале времени определяется по формуле

3/7000=0,4*10^-3

4/8000=0,5*10^-3

5/9000=0,5*10^-3

6/10000=0,6*10^-3

где n (t) – количество отказов за время t.

2 В свою очередь интенсивность отказов находится из выражения

* 10^-3=2*10^-3

где λ_i – интенсивность отказов каждого из i-х элементов, ч^-1;

N – число элементов в системе.

3 В общем случае средняя наработка на отказ для системы, состоящей из нескольких элементов, определяется по формуле

500

где λ_с – интенсивность отказов системы, ч^-1

2. Нормальное распределение

Задача 1. Наработка до отказа машин описывается законом нормального распределения с параметрами m и Ѕ. Определить значения и построить графики для следующих показателей P(t), F (t), λ(t) за период работы

t- 20000, 30000, 40000, 50000 и 60000 ч.

Исходные данные по вариантам

Вариант
m, ч ⁴	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6	4,7	4,8	4,9
Ѕ, ч∙10⁴	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1.6	1,7	1,8	1,9

Количественные характеристики определяют по следующим выражениям:

1. z = (t – m)/ Ѕ.

z ₁= (20000 – 4,0*10⁴)/ 1,0*10⁴=-2,0

z ₂= (30000 – 4,0*10⁴)/ 1,0*10⁴=-1

z ₃= (40000 – 4,0*10⁴)/ 1,0*10⁴= 0

z ₄= (50000 – 4,0*10⁴)/ 1,0*10⁴=1

z ₅= (60000– 4,0*10⁴)/ 1,0*10⁴=2

При z < 0 функция Ф(–z) = – Ф(z).

Функция Ф(z) определяется по таблице, используя метод экстраполирования значений нормированной функции Лапласа на соответствующем интервале.

Значения нормированной функции Лапласа Ф(z)

z	Ф(z),	z	Ф(z),	z	Ф(z),	z	Ф(z),
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	0,000 0,040 0,079 0,118 0,155 0,191 0,226 0,258 0,288 0,316	1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	0,341 0,364 0,385 0,403 0,419 0,433 0,445 0,455 0,464 0,471	2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9	0,477 0,482 0,486 0,489 0,491 0,493 0,495 0,4965 0,4974 0,4981	3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9	0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977 0,49984 0,49989 0,49993 0,49995

2.Вероятность безотказной работы

P (t) = 0,5 – Ф(z),

P (20000) = 0,5 – Ф(z₁)= 0,5 + 0,477=0,977

P (30000) = 0,5 – Ф(z₂)= 0,5 +0,341=0,841

P (40000) = 0,5 – Ф(z₃)= 0,5 -0=0,5

P (50000) = 0,5 – Ф(z₄)= 0,5 –0,341=0,159

P (60000) = 0,5 – Ф(z₅)= 0,5 –0,477=0,023

где Ф(z) – нормированная функция Лапласа.

2. Плотность распределения наработки до отказа (ч^-1).

5,4*10^-6

= 24 * 10^-5

39 * 10^-5

24 * 10^-5

5,4 * 10^-6

.3. Интенсивность отказов (ч^-1).

λ (t) =ƒ (t) / P (t)

λ (20000) = 0,0000054/0,977=0,552 * 10^-5

λ (30000) = 0,000024/ 0,841=2,854 * 10^-5

λ (40000) = 0,000039/ 0,5=7,8 * 10^-5

λ (50000) = 0,000024/ 0,159= 15,09 * 10^-5

λ (60000) = 0,0000054/ 0,023=23,478 * 10^-5

Задача 2. Оценить вероятность P(t) безотказной работы в течение времени t изнашиваемого подвижного сопряжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному распределению с параметрами m и Ѕ.

Исходные данные по вариантам

Вариант
t, ч·10⁴	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8
m, ч·10⁴	2,0	2,5	3,5	3,0	4,0	4,0	3,5	3,0	2,5	2,0
Ѕ, ч·10⁴	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	1,8	1,6	1,4	1,2	1,0

Находится квантиль по выражению

По таблице определяется P(t), используя метод экстраполирования значений вероятности безотказной работы на соответствующем интервале.

P(t)= 0,8413

Значения квантили U_P

Квантиль U _P	-0,2	-0,7	-0,8	-1,0	-1,036	-1,1
Вероятность безотказной работы P (t)	0,5793	0,7580	0,7881	0,8413	0,85	0,8643
Квантиль U _P	-1,2	-1,282	-1,4	-1,5	-2,2	-2,3
Вероятность безотказной работы P (t)	0,8849	0,9	0,9192	0,9332	0,9861	0,9893

Задача 3. Оценить 80%-й ресурс гусеницы трактора, если известно, что долговечность гусеницы ограничена по износу. Ресурс подчиняется нормальному распределению с параметрами m и Ѕ.

Исходные данные по вариантам

Вариант
m, ч ·10⁴	1,0	1,01	1,02	1,03	1,04	1,0	1,01	1,02	1,03	1,04
Ѕ, ч ·10³	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	4,5	4,0	5.5	5,0	5,5

При P (t) = 0,8; U _P = – 0,84, тогда ресурс составит, ч:

T_0,8 = m + U_P Ѕ

T_0,8 = m + U_P Ѕ=10000-0,84*4000= 6640

3 Распределение Вейбулла

Задача. Ресурс подшипников описывается распределением Вейбулла с параметрами t₀ и m. Оценить вероятность безотказной работы P (t), интенсивность отказов λ (t), плотность распределения ƒ (t) и построить графики для наработки t =10000, 20000, 30000, 40000 и 50000 ч.

Исходные данные по вариантам