Урок № 69-72 . Векторы в пространстве. Основные определения.

Определение вектора в пространстве ничем не отличается от определения вектора на плоскости.

& Определение 1. Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Векторы обозначаются и т. п. и на чертеже изображаются стрелкой.

& Определение 2. Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка .

Длина векторов обозначается .

Любая точка пространства также считается вектором, который называется нулевым. Начало такого вектора совпадает с его концом, а длина равна нулю. Обозначения нулевого вектора:

& Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если ненулевые векторы лежат на параллельных прямых (следовательно, в одной плоскости), причём лучи лежат в одной полуплоскости, границей которой является прямая , то векторы называются сонаправленными; в случае же, когда эти векторы принадлежат одной прямой, они называются сонаправленными, если один из лучей или целиком содержится в другом.

Нулевой вектор будем считать сонаправленным с любым вектором в пространстве.

Сонаправленные векторы, в силу их определения, коллинеарны. Если два коллинеарных вектора не сонаправлены, то они называются противоположно направленными.

Обозначения: (векторы сонаправлены), (векторы противоположно направлены).

& Определение 4. Векторы называются равными, если и (т.е. если векторы сонаправлены и их длины равны).

& Теорема 1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей планиметрической теоремы.

& Операции над векторами и их свойства. Пусть даны два вектора . В силу теоремы 1 от произвольной точки пространства можно отложить вектор , а от точки — вектор , тогда вектор называется по определению суммой векторов , а описанное правило построения суммы двух векторов — правилом треугольника.

& Теорема 2. Сумма векторов не зависит от выбора точки , от которой при сложении откладывается вектор .

Правило треугольника можно сформулировать и так: для любых трёх точек пространства выполняется равенство .

Кроме того, сумму двух неколлинеарных векторов с общим началом можно построить и по правилу параллелограмма: , где — вектор, модуль которого равен длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах , причём вектор откладывают от той же точки, что и векторы . Все свойства операции сложения векторов, справедливые на плоскости, остаются справедливыми и в пространстве: , где произвольные векторы в пространстве.

& Определение 5. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и эти векторы противоположно направлены.

Вектор, противоположный данному ненулевому вектору , обозначается . & Определение 6. Разностью двух векторов называется вектор такой, что его сумма с вектором равна вектору . Разность векторов обозначается . Таким образом, по определению , если . Разность векторов можно найти по формуле . (докажите эту формулу самостоятельно).
Замечание. Так же как и на плоскости, для сложения нескольких векторов в пространстве можно использовать правило многоугольника, только в последнем случае этот многоугольник будет пространственным (т.е. не все векторы, его составляющие, лежат в одной плоскости). Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от порядка слагаемых.

& Определение 7. Произведением ненулевого вектора на действительное число называется вектор , длина которого равна произведению длины вектора на модуль числа k,

причём вектор сонаправлен с вектором при k > 0 и противоположно направлен вектору при .

Таким образом, по определению, , если , причём при и при . Ясно, что векторы коллинеарны. Если же или k = 0, то и

& Свойства умножения вектора на число:

, где произвольные векторы, а - произвольные числа.

Справедлива также лемма о коллинеарных векторах: если векторы коллинеарны и , то существует такое действительное число , что, .

& Теорема 3. Пусть , где - некоторое действительное число, отличное от , тогда точки принадлежат одной прямой. Для произвольной точки пространства справедливо равенство:
Следствие 1. Если — середина отрезка , то для любой точки пространства справедливо (в данном случае ).
Следствие 2. Если точка делит отрезок в отношении , т.е. , то для любой точки пространства (в данном случае ).
Следствие 3. Если точки делят соответственно отрезки в равных отношениях, т. е. , то   Как видим, почти все определения и утверждения, рассмотренные выше (за исключением, быть может, правила сложения нескольких векторов), аналогичны соответствующим определениям и утверждениям планиметрии.

1. Дано: – точка пересечения медиан . Докажите, что

2. Дано: – точка пересечения медиан , – любая точка пространства. Докажите, что

3. Повторение упр. 299.

4. Упр. 321, 322.

5. Дано: – тетраэдр, точки пересечения медиан (центроиды) граней соответственно. Докажите, что: ; .

6. Дано: параллелепипед. На диагонали грани взята такая точка , что , на диагонали параллелепипеда – такая точка , что . Докажите, что: лежат на одной прямой; 2) найдите отношение, в котором точка делит .

7. Даны два параллелограмма и Точки середины соответственно . Докажите, что отрезки пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.