Вычислительные методы и моделирование
Вопросы к экзамену
Вычислительные методы
Решение уравнений с одной переменной
Классификация нелинейных уравнений с одним неизвестным. Постановка задачи. Методы отделения корней. Методы уточнения корней уравнения с заданной точностью (метод деления отрезка пополам, метод Ньютона (касательных), метод хорд, метод итерации).
Метод деления отрезка пополам.
Метод итерации (Теорема Лагранжа. Критерий сходимости метода итерации. Условие окончания процесса уточнения корня в методе итераций. Геометрическая интерпретация метода итерации. Общий прием приведения уравнения 
к виду 
).
Метод хорд (геометрическая интерпретация метода, формула, определение неподвижного/подвижного конца хорды, сходимость метода хорд, условие окончания процесса приближения к корню).
Метод Ньютона (геометрическая интерпретация метода, формула, сходимость метода Ньютона)
Решение систем уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): общие понятия. Точные методы решения СЛАУ. Неточные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Метод простой итерации (Условие сходимости метода простой итерации для системы 
и системы 
. Формулы оценки погрешности приближенного решения). Метод Зейделя.
Системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
Аппроксимация функций.
Постановка задачи интерполирования. Аппроксимация полиномом. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Формула Лагранжа. Интерполяционные многочлены Ньютона для равноотстоящих узлов. Интерполяционные формулы Ньютона. Погрешность интерполяции.
Локальная интерполяция. Кусочно-линейная интерполяция. Кусочно-квадратичная интерполяция. Кубическая сплайн-интерполяция.
Метод наименьших квадратов. Постановка задачи. Нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере функции с тремя параметрами. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции (линейная регрессия).
Числовое дифференцирование и интегрирование. Постановка задачи числового дифференцирования. Вычисление производных таблично заданной функции при кусочно-линейной и кусочно-квадратичной интерполяции. Вычисление производных аналитически заданной функции. Оценка точности
Постановка задачи числового интегрирования. Квадратурная формула. Квадратурная сумма. Формулы Ньютона-Котеса. Формулы прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона. Графическая интерпретация методов. Оценки точности.
Решение дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения Задача Коши. Метод Эйлера. Графическая интерпретация. Модифицированный метод Эйлера. Метод Эйлера-Коши. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Решение систем дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений высших порядков.
Компьютерное моделирование
Модели и моделирование. Понятия модели, моделирования. Различные подходы к классификации и систематизации моделей. Физические и математические модели. Адекватность модели. Понятие системы. Модели состава и структуры системы. Динамические модели систем. Математическое описание систем. Отношение между моделью и реальной системой. Имитационное моделирование. Метод Монте-Карло. Системы массового обслуживания.
Задачи оптимизации. Линейное программирование.Примеры задач. Общая математическая формулировка ОЗЛП. Подход к решению ОЗЛП. Симплекс-метод. Симплекс-таблицы.