Понятие предела. предел суммы, произведения и частного. Предел сложной функции. Вычисление пределов. Замечательные пределы. Понятие непрерывности в точке и на интервале. Точки разрыва. Геометрический смысл. Непрерывность суммы, произведения и частного функций. непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.
Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию
0 < êx – x0ê < d,
выполняется условие
êy – Aê < e.
Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой
.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: 
.
Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция 
не является непрерывной в точке x = 2. Функция 
не является непрерывной в точке x = 0.
Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.
Cвойства предела функции.
1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.
2. 
, если C — постоянная функция.
3. Если существует 
и C — постоянная функция, то
.
4. Если существуют 
и 
, то существует 
, равный 
, а также существует 
, равный 
. Если при этом 
, то существует 
, равный 
.
Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы 
), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x – a < d будет следовать êB –f(x) ê < e.
Согласно приведенному определению 
.
Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы 
), если для любого положительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < b – x < d будет следовать êC – f(x)ê < e.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если
(
).
Функция 
непрерывна справа в точке x=0.
Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
Для того, чтобы выполнялось равенство 
, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:
; 
Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:
,
если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:
½f(x) – A½ < e.
Пусть теперь функция f(x) определена на полу бесконечном промежутке
(–¥; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:
,
если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:
½f(x) – A½ < e.
Два, так называемых, "замечательных предела".
1. 
. Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая 
является касательной к графику функции 
в точке 
.
2. 
. Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.
Вопросы для самопроверки.
1.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.
2.При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке.
3.Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции?
4.Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?
5.Приведите примеры бесконечно малых функций: эквивалентных, одного порядка, разного порядка малости.
6.Чему равен предел суммы четырех функций?
7.В чем различие между понятиями предела и непрерывности функции в точке?
8.При каких условиях непрерывна сложная функция?