Основная задача регулирования состоит в установлении и поддержании заданного режима работы объекта во времени. При этом качество процесса регулирования определяется рядом показателей, отраженных в государственных стандартах и требованиях нормативной документации, например, длительность переходного процесса, заброс регулируемого параметра, степень нечувствительности, степень неравномерности и т.п.
Если какое-либо возмущение нарушило равновесие в системе и далее исчезло, то при устойчивом регулировании после достаточно малого возмущения регулятор восстановит режим, который поддерживался до действия возмущения.
Для линейной САР устойчивость процесса регулирования по отношению к малым возмущениям означает его устойчивость также и по отношению к любому другому возмущению, не обязательно малому. Но сама линейная модель САР позволяет судить о поведении реальной системы лишь по отношению к малым возмущениям.
Рассмотрим дифференциальное уравнение движения САР (регулируемый параметр 
) в операторной форме записи при возмущающем воздействии от изменения нагрузки λ
.
Данное уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение относительно 
находится как сумма двух решений: частного решения с правой частью и общего решения уравнения без правой части. Таким образом, решение уравнения имеет вид:
Первое слагаемое определяет вынужденную составляющую φв(t), второе слагаемое – переходную составляющую φn(t), 
. Формула может быть представлена следующим образом:
.
Характерный переходный процесс показан на рис. 5.28.
Рисунок 5.28. Характерный переходный процесс САР
САР является устойчивой, если при 
переходная составляющая стремится к нулю (
). Найдем эту составляющую из уравнения.. Для этого решим уравнение без правой части
.
Определим корни характеристического уравнения
.
Так как данное уравнение содержит n корней, то переходную составляющую можем записать в виде
,
где 
- корни характеристического уравнения;
- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Корни характеристического уравнения определяются только левой частью уравнения, постоянные интегрирования - также и правой частью уравнения. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как правой, так и левой частями исходного дифференциального уравнения.
Нахождение корней характеристического уравнения связано с трудностями. Однако находить их и не требуется, так как для суждения об устойчивости системы нужно лишь знать, что все они расположены левее мнимой оси на плоскости комплексного переменного р. Эти условия называются к р и т е р и я м и у с т о й ч и в о с т и.
Существующие критерии устойчивости делятся на две группы: алгебраические и частотные.
Алгебраические критерии устойчивости.
К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и Р а у з а - Г у р в и ц а.Задачу отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, сформулировал Максвелл в 1868г. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раузом в 1873г. для уравнений четвертой и пятой степени. В 1877г. задача была решена полностью в виде алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения.
Большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895г. математиком Гурвицем.
Независимый подход Рауза и Гурвица к оценке устойчивости системы дал повод в мировой практике считать предложенный критерий – критерием Рауза-Гурвица.
Решение сводится к составлению матрицы коэффициентов уравнения (40), содержащую n строк и n столбцов.
Сначала заполняется главная диагональ матрицы коэффициентами от а1 до аn. Вверх (по вертикали) записываются последовательно коэффициенты с увеличивающимся индексом, вниз записываются коэффициенты с убывающими значениями индексов. Несуществующие коэффициенты (n <индекс<0) заменяются нулями.
Оценка устойчивости сводится к тому, что при 
должны быть больше нуля все n определителей, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов, определители (миноры) составляются по следующему правилу:
; 
; 
; ……
Последний определитель включает в себя всю матрицу. Так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель выражается через предпоследний следующим образом:
.
Однако в устойчивой системе предпоследний определитель должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию 
, т.е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.
П р и м е р: САР имеет характеристическое уравнение
.
Оценить устойчивость САР по критерию Рауза - Гурвица.
Р е ш е н и е.
1. Составим квадратную матрицу, для чего сначала заполним главную диагональ коэффициентами, начиная с 
, а затем всю матрицу согласно правилу Рауза – Гурвица.
2. Определим значения миноров
; 
;
.
3. При положительном значении 
все миноры определителя больше нуля. Следовательно, система устойчива.
Частотные критерии устойчивости.
К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и М и х а й л о в а. Левая часть уравнения представляет собой характеристический полином или собственный оператор САР D(р)
.
Если подставить в полином значение 
, где 
- круговая частота колебаний, соответствующих мнимому корню уравнения, то получим характеристический комплекс
,
где 
- вещественная часть, содержит четные степени
, 
;
- мнимая часть, содержит нечетные степени ,
.
Функции 
и 
представляют собой модуль и фазу (аргумент) характеристического комплекса.
Уравнение не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение аргумента 
при изменении 
равно 
, где 
- степень полинома 
. САР будет при этом устойчивой. Если полное приращение окажется меньше 
, то система неустойчива.
Чтобы установить связь между видом кривой Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения, определим, чему должен равняться угол поворота 
вектора 
при 
. Для этого запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей
,
где 
- корни характеристического уравнения.
Характеристический вектор можно представить в виде
.
Каждое выражение в скобках представляет собой комплексное число. Следовательно, 
- произведение из комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора 
при изменении 
будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей
.
Если 
, где 
, то данный сомножитель будет 
. При изменении 
вещественная часть остается равной 
, а мнимая 
изменится от
до 
(рис. 5.29, а), т.е. на угол 
.
Если корень 
, где 
, то сомножитель 
при изменении 
от 
до 
изменится таким образом, что вектор повернется на угол от 
до 
, т.е. на угол 
(рис. 5.29, б).
Рисунок 5.29. Анализ сомножителей характеристического вектора
Если корни равны 
, то сомножители 
при аналогичном изменении 
повернутся на углы 
и 
(см. рис. 5.29, в). Тогда вектор, соответствующий данному произведению повернется на угол 
.
Аналогично, если 
, то 
.
Таким образом, если характеристическое уравнение из 
корней будет иметь 
корней с положительной вещественной частью, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворота, равная 
, всем же остальным 
корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворота, равная 
. Общий угол поворота вектора при изменении 
от 
до 
.
В общем случае i-й сомножитель 
выражения в векторной форме можно представить в комплексной плоскости (рис. 5.30) при подстановке 
.
Рисунок 5.30. Представление i-го сомножителя характеристического вектора 
Каждый сомножитель 
,
где 
- модуль вектора 
;
- фазовый угол вектора 
(его аргумент).
Тогда уравнение можно представить как
или 
,
где R - модуль Михайлова, 
.
Если изменять частоту 
от 
до 
, то угол 
каждого из векторов изменится от 
до 
.
К р и т е р и й М и х а й л о в а читается так:
для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора 
в комплексной плоскости, полученный в результате подстановки 
в характеристическое уравнение, при изменении 
, нигде не обращаясь в н у л ь, развернулся п о с л е д о в а т е л ь н о против часовой стрелки на угол 
(где 
- степень уравнения).
Пример: CАР описана дифференциальным уравнением
движения
.
Оценить устойчивость САР по критерию Михайлова.
Решение:
Запишем уравнение в операторной форме:
.
Приравняв собственный оператор нулю 
, по-
лучим характеристическое уравнение
.
Делаем подстановку 
и выделяем вещественную и мнимую части (
и 
):
Вещественная часть 
;
Мнимая часть 
.
Для отыскания точек годографа составим табл. 5.1.
Таблица 5.1
|
| |||||||
| 0.5 | 0.48 | -1.5 | -7.5 | -49 | -199 | |
|
| 0.4 | 1.9 | -105 | -960 |
Строим годограф вектора на комплексной плоскости (рис.5.31). При 
, т.е. годограф вектора последовательно и не обращаясь в нуль повернется против часовой стрелки на угол, не превышающий значения 
. Таким образом, САР устойчива.
Рисунок 5.31. Годограф Михайлова
К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и Н а й к в и с т а основан на построении амплитудно-фазово-частотной характеристики р а з о м к н у т о й системы при изменении частоты 
от 
до 
.
Устойчивость системы определяется в следующем порядке:
· Строится структурная схема САР;
· Разрывают замкнутую систему, нарушая одну из связей контура (рис. 5.32,а);
Рисунок 5.32. Структурная схема САР и ее АФЧХ
· Определяют передаточную функцию разомкнутой системы
;
· Строят АФЧХ разомкнутой системы
,
где 
- соответственно амплитудно-частотные характеристики объекта и регулятора;
- соответственно фазово-частотные характеристики объекта и регулятора.
Введя замену 
для разомкнутой системы, получим АФЧХ
;
Для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ соответствующей разомкнутой системы не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1, 10). Произвольная АФЧХ устойчивой системы показана на рис. 5.32, б.
П р и м е р: Оценить устойчивость САРч с регулятором прямого действия с помощью критерия Найквиста, если степень неравномерности регулятора 
, время двигателя 
, время регулятора 
, время катаракта 
, степень неравномерности статической характеристики двигателя 
.
Решение:
Определим передаточную функцию разомкнутой системы
.
Определим АФЧХ значение 
и получим выражение для АФЧХ разомкнутой системы, где 
;
.
Определим АЧХ 
при изменении 
, результаты сведем в табл. 5.2.
Определим ФЧХ, где 
Результаты расчета 
при 
сведем в табл. 5.2.
Таблица 5.2
| 
| ||||||||
| 9,28 | 7,81 | 6,4 | 5,3 | 4,47 | 2,42 | 1,64 | ||
| -21,7 | -38,5 | -49 | -57,7 | -61,3 | -75,6 | -80,2 |
Рисунок 5.33. Амплитудно-фазовая частотная характеристика