1. Нормальное распределение.
Теоретическая дисперсия при С.К.О. 
Теоретическая плотность вероятности: 
В точке x=120 (пик графика) плотность вероятности будет максимальной и будет составлять f(x)=0.0107822.
Измеренные выборочные характеристики:
Рис. 1.1. Объем выборки оценки - 1 строка; гистограмма по 256 строкам
Рис. 1.2. Объем выборки оценки - 64 строки; гистограмма по 192 строкам.
Рис. 1.3. Объем выборки оценки – 128 строк; гистограмма по 128 строкам.
Рис. 1.4. Объем выборки оценки – 192 строки; гистограмма по 64 строкам.
Рис. 1.5. Объем выборки оценки – 256 строк; гистограмма по 1 строке
Рис. 1.6. График исследования зависимости выборочного среднего (А) нормального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 1.7. График исследования зависимости выборочной дисперсии (В) нормального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 1.8. График исследования зависимости выборочной асимметрии (С) нормального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 1.9. График исследования зависимости выборочного эксцесса (D) нормального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 1.10 График исследования зависимости максимальной плотности распределения (М) нормального распределения от количества строк объема выборки для гистограммы (Y).
2. Равномерное распределение.
Теоретическая дисперсия при a=0, b=240: 
Теоретическая плотность вероятности: 
Измеренные выборочные характеристики:
Рис. 2.1. Объем выборки оценки - 1 строка, гистограмма по 256 строкам.
Рис. 2.2. Объем выборки оценки - 64 строки, гистограмма по 192 строкам.
Рис. 2.3. Объем выборки оценки - 128 строк, гистограмма по 128 строкам.
Рис. 2.4. Объем выборки оценки - 192 строки, гистограмма по 64 строкам.
Рис. 2.5. Объем выборки оценки - 256 строк, гистограмма по 1 строке.
Рис. 2.6. График исследования зависимости выборочного среднего (А) равномерного распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 2.7. График исследования зависимости выборочной дисперсии (В) равномерного распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 2.8. График исследования зависимости выборочной асимметрии (С) равномерного распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 2.9. График исследования зависимости выборочного эксцесса (D) равномерного распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 2.10 График исследования зависимости максимальной плотности распределения (М) равномерного распределения от количества строк объема выборки для гистограммы (Y).
3. Распределение Рэлея.
Теоретическая дисперсия при параметре масштаба 
: 
Теоретическая плотность вероятности: 
В точке x=100 плотность вероятности будет составлять f(x)=0.00634.
Измеренные выборочные характеристики:
Рис. 3.1. Объем выборки оценки – 1 строка, гистограмма по 256 строкам.
Рис. 3.2. Объем выборки оценки – 64 строки, гистограмма по 192 строкам.
Рис. 3.3. Объем выборки оценки – 128 строк, гистограмма по 128 строкам.
Рис. 3.4. Объем выборки оценки – 192 строки, гистограмма по 64 строкам.
Рис. 3.5. Объем выборки оценки – 256 строк, гистограмма по 1 строке.
Рис. 3.6. График исследования зависимости выборочного среднего (А) распределения Рэлея от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 3.7. График исследования зависимости выборочной дисперсии (B) распределения Рэлея от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 3.8. График исследования зависимости выборочной асимметрии (С) распределения Рэлея от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 3.9. График исследования зависимости выборочного эксцесса (D) распределения Рэлея от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 3.10 График исследования зависимости максимальной плотности распределения (М) распределения Рэлея от количества строк объема выборки для гистограммы (Y)
4. Экспоненциальное распределение.
Теоретическая дисперсия при параметре масштаба 
: 
Теоретическая плотность вероятности: 
В точке x=0 плотность вероятности будет максимальной и будет составлять 
.
Измеренные выборочные характеристики:
Рис. 4.1. Объем выборки оценки – 1 строка, гистограмма по 256 строкам.
Рис. 4.2. Объем выборки оценки – 64 строки, гистограмма по 192 строкам.
Рис. 4.3. Объем выборки оценки – 128 строк, гистограмма по 128 строкам.
Рис. 4.4. Объем выборки оценки – 192 строки, гистограмма по 64 строкам.
Рис. 4.5. Объем выборки оценки – 256 строк, гистограмма по 1 строке.
Рис. 4.6. График исследования зависимости выборочного среднего (А) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 4.7. График исследования зависимости выборочной дисперсии (В) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 4.8. График исследования зависимости выборочной асимметрии (С) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 4.9. График исследования зависимости выборочного эксцесса (D) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 4.10 График исследования зависимости максимальной плотности распределения (М) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для гистограммы (Y).
Сводная таблица по результатам исследования выборочных характеристик для нормального распределения N(120; 1369):
| № | Объем выборки (по кол-ву строк) | Гистограмма (по кол-ву строк) | max f(x) | Среднее | Дисперсия | Асим. | Эксцесс |
| 1. | 0.01151 | 117.37 | 1575.85 | 0.13 | -0.16 | ||
| 2. | 0.01164 | 119.96 | 1354.45 | -0.02 | -0.04 | ||
| 3. | 0.01193 | 120.12 | 1365.75 | -0.01 | -0.04 | ||
| 4. | 0.01190 | 120.03 | 1374.31 | 0.01 | -0.03 | ||
| 5. | 0.01953 | 119.95 | 1374.84 | 0.00 | -0.04 |
Сводная таблица по результатам исследования выборочных характеристик для равномерного распределения U(0; 240):
| № | Объем выборки (по кол-ву строк) | Гистограмма (по кол-ву строк) | max f(x) | Среднее | Дисперсия | Асим. | Эксцесс |
| 1. | 0.00500 | 118.41 | 4887.86 | 0.03 | -1.26 | ||
| 2. | 0.00509 | 119.02 | 4810.67 | 0.02 | -1.20 | ||
| 3. | 0.00519 | 119.00 | 4812.26 | 0.02 | -1.20 | ||
| 4. | 0.00555 | 119.46 | 4794.97 | 0.01 | -1.20 | ||
| 5. | 0.01953 | 119.63 | 4787.14 | 0.00 | -1.20 |
Сводная таблица по результатам исследования выборочных характеристик для распределения Рэлея R(135):
| № | Объем выборки (по кол-ву строк) | Гистограмма (по кол-ву строк) | max f(x) | Среднее | Дисперсия | Асим. | Эксцесс |
| 1. | 0.00722 | 123.37 | 4193.18 | 0.74 | 0.45 | ||
| 2. | 0.00716 | 119.55 | 3894.40 | 0.64 | 0.32 | ||
| 3. | 0.00745 | 119.78 | 3944.73 | 0.65 | 0.30 | ||
| 4. | 0.00769 | 119.91 | 3967.61 | 0.65 | 0.31 | ||
| 5. | 0.02344 | 120.04 | 3941.58 | 0.64 | 0.29 |
Сводная таблица по результатам исследования выборочных характеристик для экспоненциального распределения E(120):
| № | Объем выборки (по кол-ву строк) | Гистограмма (по кол-ву строк) | max f(x) | Среднее | Дисперсия | Асим. | Эксцесс |
| 1. | 0.00870 | 108.94 | 11088.27 | 1.99 | 5.58 | ||
| 2. | 0.00873 | 120.16 | 14316.75 | 1.94 | 5.37 | ||
| 3. | 0.00888 | 120.44 | 14388.26 | 1.93 | 5.33 | ||
| 4. | 0.00934 | 119.90 | 14323.43 | 1.95 | 5.47 | ||
| 5. | 0.01953 | 119.80 | 14294.25 | 1.95 | 5.45 |
III. Исследование сходимости экспоненциального распределения 
и логарифмического нормального распределения 
.
По условию задания необходимо иметь одинаковые мощности (вторые начальные моменты) для распределений 
и 
. Исходя из этого, рассчитаем зависимость параметров одного распределения от другого и для этого приравняем вторые начальные моменты:
Рассчитаем мощности каждого заданного распределения.
1) Для экспоненциального распределения:
2) Для логнормального распределения:
=4,876 
Тогда:
=4,876
Для исследования сходимости зададим параметр логнормального распределения 
тогда 
. Тогда имеем параметры распределений: E(45); LN(50; 1,1).
Сводная таблица исследования выборочных характеристик для экспоненциального распределения E(45):
| № | Объем выборки (по кол-ву строк) | Гистограмма (по кол-ву строк) | max f(x) | Среднее | Дисперсия | Асим. | Эксцесс |
| 1. | 0.02290 | 40.36 | 1447.17 | 1.44 | 1.99 | ||
| 2. | 0.03516 | 42.38 | 1637.04 | 1.67 | 3.52 | ||
| 3. | 0.02930 | 42.44 | 1716.92 | 1.73 | 3.62 | ||
| 4. | 0.02271 | 44.90 | 1930.59 | 1.81 | 4.19 | ||
| 5. | 0.02258 | 45.46 | 1997.78 | 1.87 | 4.80 | ||
| 6. | 0.02236 | 45.15 | 2012.31 | 1.96 | 5.56 | ||
| 7. | 0.02231 | 44.76 | 2016.77 | 2.00 | 5.78 | ||
| 8. | 0.02338 | 44.81 | 2015.24 | 2.01 | 5.97 | ||
| 9. | 0.04297 | 44.83 | 2004.98 | 2.00 | 5.86 |
Сводная таблица исследования выборочных характеристик для логарифмически нормального распределения LN(50; 1,1):
| № | Объем выборки (по кол-ву строк) | Гистограмма (по кол-ву строк) | max f(x) | Среднее | Дисперсия | Асим. | Эксцесс |
| 1. | 0.01418 | 70.89 | 5693.31 | 3.45 | 19.56 | ||
| 2. | 0.02734 | 77.19 | 8997.75 | 5.04 | 40.48 | ||
| 3. | 0.01953 | 76.23 | 7326.33 | 4.24 | 32.97 | ||
| 4. | 0.01514 | 75.87 | 7248.61 | 4.77 | 49.11 | ||
| 5. | 0.01440 | 73.88 | 6461.05 | 4.27 | 38.64 | ||
| 6. | 0.01428 | 74.84 | 6939.95 | 4.76 | 49.23 | ||
| 7. | 0.01471 | 74.41 | 6656.97 | 4.41 | 40.22 | ||
| 8. | 0.01514 | 74.72 | 6735.15 | 4.44 | 40.48 | ||
| 9. | 0.03125 | 74.40 | 6615.92 | 4.35 | 38.32 |
Рис. 5.1. График исследования зависимости выборочного среднего (А) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 5.2. График исследования зависимости выборочной дисперсии (B) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 5.3. График исследования зависимости выборочной асимметрии (С) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 5.4. График исследования зависимости выборочного эксцесса (D) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 5.5. График исследования зависимости максимальной плотности распределения (М) экспоненциального распределения от количества строк объема выборки для гистограммы (Y).
Рис. 6.1. График исследования зависимости выборочного среднего (А) логнормального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 6.2. График исследования зависимости выборочной дисперсии (В) логнормального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 6.3. График исследования зависимости выборочной асимметрии (С) логнормального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 6.4. График исследования зависимости выборочного эксцесса (D) логнормального распределения от количества строк объема выборки для оценки (Х).
Рис. 6.5. График исследования зависимости максимальной плотности распределения (М) логнормального распределения от количества строк объема выборки для гистограммы (Y).
Выводы.
По заданию 1.
Для оценки качества сходимости смоделированных типовых распределений составим таблицу погрешностей 
, каждая из которых равна модулю разности между расчётным теоретическим значением и средним арифметическим экспериментальных значений, полученных в ходе моделирования:
|
| 
| 
| 
| 
| 
| Распределение |
| 0.514 | 40.04 | 0.022 | 0.062 | 0.0001338 | 
| |
| 0.896 | 18.58 | 0.016 | 0.012 | 0.0039053 | 
| |
| 0.53 | 70.3 | 0.034 | 0.104 | 0.004252 | 
| |
| 2.152 | 717.808 | 0.048 | 1.44 | 0.037856 | 
|
Как видно из таблицы, наибольшие погрешности и наиболее медленная сходимость к любому из теоретических значений наблюдается у экспоненциального распределения.
К математическому ожиданию и плотности распределения быстрее остальных распределений сходится нормальное (гауссовское) распределение, в то время как выборочные характеристики модели равномерного распределения, как то: дисперсия 
, асимметрия 
, эксцесс 
, с увеличением количества строк оценки случайного поля приближаются к заданным и рассчитанным параметрам.
По заданию 2.
Оценим сходимость заданных распределений по способу выше с помощью модуля погрешности:
|
|
|
|
|
|
| Распределение |
| 1.1012 | 160.6889 | 0.1678 | 1.4123 | 0.0048524 | 
| |
| 0.414 | 284.103 | 0.216 | 13.3151 | 0.005441 | 
|
Как видно из таблиц и из графиков исследования зависимостей выборочных характеристик от количества строк объема выборки (оценки или гистограммы), сходимость заданного экспоненциального распределения лучше по сравнению со сходимостью логнормального распределения за исключением сходимости к выборочному среднему.
Приложение I.
Задание 1. Расчетные значения математического ожидания, дисперсии, асимметрии, эксцесса и плотности вероятности для данных типовых распределений:
|
| 
|
|
| f(x) | |
| N(120; 1369) | 0.0107822 | ||||
| U(0; 240) | -1.2 | 0.00416667 | |||
| R(135) | 0.63 | 0.23 | 0.00634 | ||
| E(120) | 14 400 | 0.008333... |
Задание 2. Расчетные значения математического ожидания, дисперсии, асимметрии, эксцесса и плотности вероятности для распределений Е(45) и LN(50; 1.1):
|
|
|
|
| f(x) | |
| E(45) | 0.02222... | ||||
| LN(50; 1.1) | 74.3 | 6679.79 | 4.631 | 54.094 | 0.013 |