К коллоквиуму по линейной алгебре
ТЕМА:
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Вопросы, которые необходимо знать
Для получения оценки «четыре» или «пять»
1. Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
Внутренняя и внешняя операции. Аксиомы линейного пространства (выучить). Простейшие следствия из аксиом (выучить любые 6 без доказательства).
2. Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости (без доказательства).
3. Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов (без доказательства).
4. Координатные столбцы векторов и их свойства (без доказательства).
5. Матричный критерий линейной зависимости и независимости (без доказательства).
6. Определение размерности линейного пространства. Бесконечномерное пространство. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия (без доказательства).
7. Скалярное произведение в 
и его свойства. Расстояние и его свойства в (без доказательства).
8. Подпространства линейного пространства. Определение и критерий (без доказательства).
9. Определение матрицы перехода (полное) и её свойства (без доказательства).
10. Определение матрицы перехода. Преобразования координат вектора при изменении базиса (без доказательства).
11. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства (без доказательства).
12. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
13. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.
14. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа (без доказательства).
15. Определение матрицы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы (без доказательства).
16. Операции над линейными операторами. Связь с матрицами (без доказательства).
17. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице (без доказательства).
18. Обратный линейный оператор. Следствие для конечномерного пространства (без доказательства).
19. Определение и свойства собственных векторов.
20. Характеристический многочлен и характеристические числа матрицы. Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора. Правило нахождения собственных векторов (без доказательства).
21. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений (без доказательства).
22. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости (без доказательства).
23. Присоединенные векторы и правило их нахождения (без доказательства).
Вопросы, которые необходимо знать
для получения оценки «шесть» или «семь»
24. Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
Внутренняя и внешняя операции. Аксиомы линейного пространства (выучить). Простейшие следствия из аксиом (выучить любые 6 с доказательством).
25. Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости (с доказательством).
26. Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов (с доказательством).
27. Координатные столбцы векторов и их свойства.
28. Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
29. Определение размерности линейного пространства. Бесконечномерное пространство. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия (без доказательства).
30. Определение аффинного пространства и следствия из аксиом (без доказательства). как пример аффинного пространства.
31. Скалярное произведение в и его свойства. Расстояние и его свойства (без доказательства).
32. Подпространства линейного пространства. Определение и критерий.
33. Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов (без доказательства).
34. Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы (без доказательства).
35.
36. Определение матрицы перехода (полное) и её свойства.
37. Определение матрицы перехода. Преобразования координат вектора при изменении базиса.
38. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства.
39. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение. Существование и единственность обратного отображения.
40. Определение линейного оператора и его простейшие свойства (с доказательством). Теорема о существовании линейного оператора (без доказательства).
41. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа (без доказательства).
42. Определение матрицы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса(без доказательства). Подобные матрицы
43. Операции над линейными операторами. Связь с матрицами (без доказательства).
44. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице (без доказательства).
45.
46. Обратный линейный оператор. Теорема о существовании и единственности (без доказательства). Следствие для конечномерного пространства (с доказательством).
47. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств (без доказательства). Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности (без доказательства).
48. Определение и свойства собственных векторов (с доказательством, кроме последнего). Собственные подпространства, геометрическая кратность собственного значения.
49. Характеристический многочлен и характеристические числа матрицы. Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора. Правило нахождения собственных векторов (с выводом).
50. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений (без доказательства).
51. Лемма о диагональном виде матрицы линейного оператора.
52. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и первая теорема о приводимости (без доказательства). Следствие. Замечание о матрице, приводящей матрицу А к диагональному виду.
53. Лемма о связи геометрической и алгебраической кратностей собственного значения (без доказательства).
54. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости (без доказательства).
55. Присоединенные векторы и правило их нахождения.
Вопросы, которые необходимо знать