Буяновой Анны НО-117
Какие рассуждения называют дедуктивными? Какова их структура? Приведите примеры использования дедуктивных рассуждений в 1,2,3 и 4 классах.
(из лекции) Дедуктивные умозаключения – основной способ доказательства истинности в математике.
Суть сводится к тому, что на основе общего суждения, о предмете данного класса и некоторого единичного суждения о каком-то предмете, высказывается новое единичное суждение о том же предмете.
Общее суждение – общая посылка.
1 единичное суждение – это частная посылка,
новое единичное суждение – умозаключение.
Пример: Так как в натуральном ряду чисел, любое последующее число, больше предыдущего, а число 9 в натуральном ряду стоит после числа 7, то 9 больше 7. (общая, частная, умозаключение)
Особенность дедуктивных рассуждений в НК в том, что они часто используются в неявном виде и в рассуждениях часто опускается общая и частная посылка.
(дополнительно).
В дедуктивных умозаключениях (от лат. deductio - выведение) связи между посылками и заключением представляют собой формально-логические законы, в силу чего при истинных посылках заключение всегда оказывается истинным.
Дедуктивное умозаключение - это такая форма абстрактного мышления, в которой мысль развивается от знания большей степени общности к знанию меньшей степени общности, а заключение вытекающее из посылок, с логической необходимостью носит достоверный характер. Объективной основой дедуктивных умозаключений является единство общего и единичного в реальных процессах, предметах окружающего мира.
Процедура дедукции имеет место в том случае, когда информация посылок содержит (часто в неявной форме) информацию, выраженную в заключении. Дедуктивное умозаключение является способом извлечения этой информации и представления ее в явной форме.
Правила дедуктивного вывода определяются характером посылок, которые могут быть простыми или сложными суждениями, а также их количеством. В зависимости от количества используемых посылок, из которых строится вывод, дедуктивные умозаключения бывают непосредственные и опосредованные.
Структура дедуктивных умозаключений.
Умозаключение — это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.
Этот способ представляет собой переход от некоторых высказываний, фиксирующих наличие некоторых ситуаций в действительности, к новому высказыванию и соответственно к знанию о наличии ситуации, которую описывает это высказывание.
Переход от некоторых высказываний (посылок умозаключения) к высказыванию (заключению) в умозаключении может совершаться на основе интуитивного усмотрения какой-то связи - такие умозаключения называют содержательными; или путем логического выведения одного высказывания из других - это умозаключения формально-логического характера. В первом случае оно представляет собой, по существу, психический акт. Во втором случае его можно рассматривать как определенную логическую операцию. Последняя и является предметом изучения логики.
В содержательных умозаключениях мы оперируем, по существу, не с самими высказываниями, а прослеживаем связь между ситуациями действительности, которые эти высказывания представляют. Это и отличает содержательные умозаключения от умозаключений как операций логического характера, называемых иногда формализованными умозаключениями. В этих умозаключениях операции совершаются именно над высказываниями самими по себе, причем по правилам, которые вообще не зависят от конкретного содержания высказываний. Для содержательных умозаключений нет никаких определенных критериев этого рода и всегда возможен спор - рассуждает ли человек правильно или нет. Именно формализованные умозаключения являются предметом изучения логики. И именно их мы имеем в виду в дальнейшем.
В умозаключении, как мы уже говорили, различают посылки - высказывания, представляющие исходное знание, и заключение - высказывание, к которому мы приходим в результате умозаключения.
В естественном языке существуют слова и словосочетания, указывающие как на заключение («значит», «следовательно», «отсюда видно», «поэтому»), так и на посылки умозаключения («так как», «поскольку», «ведь»). Представляя суждение в некоторой стандартной форме, в логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, хотя в естественном языке их порядок может быть произвольным: вначале заключение - потом посылки; заключение может находиться «между посылками».
Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятием логического следования. Учитывая эту связь, мы различаем правильные и неправильные умозаключения.
Умозаключение, представляющее собой переход от посылок к заключению, является правильным, если между посылками и заключением имеется отношение логического следования. В противном случае - если между посылками и заключением нет такого отношения - умозаключение неправильно.
В делении умозаключений на правильные и неправильные мы должны различать отношение логического следования двух видов – дедуктивное и индуктивное. Первое гарантирует истинность заключения при истинности посылок. Второе - при истинности посылок - обеспечивает лишь некоторую степень правдоподобия заключения (некоторую вероятность его истинности). Соответственно этому умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. Первые иначе еще называют демонстративными (достоверными), а вторые - правдоподобными (проблематичными).
Мы можем заключить, что учителю, как специалисту, необходимо знать и уметь строить умозаключения. Именно от качества знания этого вопроса зависит реализация поставленных нами целей и задач. Но для того, чтобы более подробно рассмотреть этот вопрос на практике, нам надо увидеть роль и место, занимаемое дедуктивными умозаключениями в курсе математики начальных классов.
(В начальных классах)
Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается, прежде всего, в их тесной связи с индуктивными. Собственно поэтому и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения как таковые отсутствуют в курсе математики начальных классов. Здесь дело в том, что для сознательного проведения дедуктивных умозаключений при решении задач необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления младшего школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивным рассуждением. Для того чтобы учащиеся более осознанно могли пользоваться дедуктивными умозаключениями при решении задач, необходимо проводить пропедевтику по исследуемой теме. Начинать надо с самого элементарного и далее продвигаться к более сложным заданиям, таким, как решение нестандартных математических задач.
Например: приступая к составлению таблиц, необходимо сосредоточить внимание учащихся на общем выводе. Уже в самом начале обучения мы проводим пропедевтику использования дедуктивных умозаключений.
Вот образец рассуждений:
Если к числу прибавим один, то получим следующее число;
К одному прибавим один, получим следующее число два;
К двум прибавим один, получим следующее число три.
При решении примеров на порядок действий рассуждения учащихся носят дедуктивный характер. В качестве общей посылки выступает правило выполнения порядка действий в выражении, в качестве частной – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка действий. Данные знания понадобятся нам в дальнейшем при решении задач и различными формами работы над ней.
«Практика показывает, что для усвоения общих положений, правил, выводов учащимся требуется большое количество конкретных упражнений. Только в результате целенаправленной длительной работы в этом направлении появится возможность для благотворного развития логического мышления младших школьников.
Для того чтобы заинтересовать детей математической логикой мы должны разработать интересные и увлекательные задания, которые дети с удовольствием выполняли бы и которые послужили бы пропедевтикой для решения нестандартных задач. Приведем некоторые задания для примера:
«Ответьте, правильно ли данное рассуждение (умозаключение), Если нет, то почему?»
1 класс При изучение нумерации
1Суждение 2+1=3
Общая посылка: Если к числу прибавим один, то получим следующее число;
Частная посылка к числу 2 прибавляем 1
Заключение: получаем число3
При сравнение чисел
2Суждение: 2 меньше 3 потому что 2 при счёте называется раньше, чем5
Общая посылка: Если одно число при счете называется раньше другого,то это число меньше.
Частная посылка:: 2 при счете называют раньше,чем 3.
Заключение: 2 меньше3
3Суждение: «4<5 потому, что 4 при счете называется раньше, чем 5».
В данном случае общая посылка: «если одно число называется при счете раньше другого, то это число меньше»;
частная посылка: «4 при счете называют раньше, чем 5»;
заключение: «4<5».
4Суждение: 3 меньше 5
Обща посылка: Если одно число при счете называют раньше, чем другое, то это число меньше.
Частная посылка: При счете 3 называют раньше 5,
Заключение: число 3 меньше числа 5.
5 Суждение: 9 больше 7
Общая посылка: Натуральном ряду чисел, любое последующее число, больше предыдущего,
Частная посылка: число 9 в натуральном ряду стоит после числа 7
Заключение: 9 больше 7
6 Суждение: 3+1
Общая посылка: Если к любому числу прибавить 1, то получим следующее за ним число
Частная посылка: 3+1=4
Заключение: 4 при счёте следует за числом 3 значит мы получили следующее при счете число, суждение верно.
7 Суждение: 3-1
Общая посылка: если из любого числа вычтем 1, то получим предшествующее ему число.
Частная посылка: 3-1=2
Заключение: 2 при счёте стоит перед числом 3, значит мы получили предыдущее при счёте число, суждение верно.
8 Суждение: «Если из 9 вычесть 8, получится 1»
Общая посылка: если из данного числа вычесть предыдущее, получится 1. Частная посылка: 9-8.
Заключение: 9-8=1.
Класс
1 Суждение: Дан квадрат
Общая посылка:Все стороны квадрата равны.
Частная посылка: ABCD – квадрат.
Заключение: все его стороны равны.
2 Суждение: 17-х=5
Общая посылка: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность
Частная посылка: 17 – уменьшаемое, 5 – разность.
Заключение: Для решения уравнения, нужно из 17 вычесть 5, получится 12
3 Суждение: Найти периметр прямоугольника со сторонами 6 и 4.
Общая посылка: Периметр – это сумма длин всех сторон.
Частная посылка: Стороны прямоугольника равны – 6 и 4. (6+4+4+6)
Заключение: 6+4+6+4=20 – это значение периметра прямоугольника.
4 Суждение: Дан пример 100+100+100+100
Общая посылка: " Умножение – это сложение одинаковых слагаемых.
Частная посылка: В примере 100+100+100+100 все слагаемые одинаковые. Заключение: Значит сумма 100+100+100+100 – это произведение 100*4."
5 Суждение: «Если 2*7=14, то и 7*2=14»
Общая посылка: От перестановки множителей значение произведения не меняется
Частная посылка: 2 и 7 – множители, которые переставили
Заключение: 2*7=7*2
6 Моро 2 класс стр. 80
Суждение: Требуется решить уравнение: х+4=12.
Общая посылка: «Если из суммы вычесть одно слагаемое, получится другое».
Частная посылка: 12-4
Заключение: 8
7 Истомина 2 класс
при изучении темы «Единицы площади» учащимся предлагается задание (М2И):
Суждение Во сколько раз площадь прямоугольника АВСD больше прямоугольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством.
Маша записала такие равенства: 15:3=5, 30:6=5.
Миша – такое равенство: 60:12=5.
Кто из них прав? Как рассуждали Миша и Маша?
Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут использовать как способ дедуктивных рассуждений, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел, так и практический. В этом случае они опираются на приведенный рисунок.
8 Суждение: Дано число 23, докажите что оно двузначное
Общая посылка: Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.
Частная посылка:23=20+3
Заключение: число 23 двузначнок
9 Суждение: 162+139=301 и (162+1)+(139+1)= 163+140= 303
Общая посылка: Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом другое, то сумма увеличится на столько же единиц.
Частная посылка: было 301 увеличили 162+1 и 139+1
Заключение 303
3 класс:
1. Суждение: 547- какое это число?
Общая посылка: Трехзначными называются числа, для записи которых, используются 3 цифры.
Частная посылка: Для записи 547 используются цифры 5,4 и 7,
Заключение: число 547 трёхзначное
2. Суждение число 100 делится на 10?
Общая посылка:Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.
Частная посылка 100 оканчивается на 0,
Заключение: число 100 делится на 0
№3 При обучении делению на однозначное число используется такой прием. Сначала выясняется: чтобы найти значения высказывания 12:4, следует узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое, т.е. 12. Известно, что 4-3 = 12. Значит, 12:4 = 3. Затем учащимся предлагается, рассуждая так же, найти, например, частное 8:4. И они сначала находят число, на которое надо умножить 4, чтобы получить 8. Получают число 2 и делают вывод 8:4 = 2.
№4
5Суждение: «Чтобы вычесть сумму чисел 28 и 4 из числа 128, можно сначала вычесть 28, а потом 4»
Общая посылка: правило «Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть одно слагаемое, а потом другое»
Частная посылка: 128-(28+4)=
Заключение: из 128 нужно вычесть сначала 28, затем 4, получим 96
6 Суждение: Данная фигура-прямоугольник
Общая посылка: у каждого прямоугольника противоположные стороны равны
Заключение: у данного прямоугольника противоположные стороны равны
7 Суждение: Является ли число 37 чеётным?
Общая посылка: Если число четное, то оно делится на 2.
Частная посылка: Число 37 не делится на 2.
Заключение: Число не чётное
8 Моро3класс стр 24 (рассуждение в рамке)
9) Дано уравнение: х–5=12.
Для нахождения неизвестного уменьшаемого учащиеся используют правило: «Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое» (общая посылка). В данном уравнении разность 12, вычитаемое 5 (частная посылка). Заключение: «Нужно к 12 прибавить 5. Получим 17».
Класс:
№1 Суждение Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:
□:6=27054
□:7 - 4083 (ост. 4)
Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение частного умножим на
делитель, то получим делимое».
Частное суждение: «значение частного — 27054, делитель — 6». Заключение: «27054*6».
2 Общая посылка – Число, в котором есть единицы разных разрядов, можно заменить суммой разрядных слагаемых.
Частная посылка – В числе 1648 есть единицы разных разрядов.
Умозаключение – Так как число, в котором есть единицы разных разрядов, можно заменить суммой разрядных слагаемых, а в числе 1648 есть единицы разных разрядов, то число 1648 можно представить в виде: 1648=1000+600+40+8
3 Составь верные равенства, используя числа: 6, 7, 8, 48, 56.
Учащиеся высказывают суждение:
6*8=48 (обоснование – вычисления) 56 – 48=8 (обоснование – вычисления)
8*6=48 (для обоснования суждения можно воспользоваться общей посылкой: «от перестановки множителей значение произведения не изменится»).
48:8=6 (тоже возможна общая посылка и т.д.)'
4 Моро 4 класс
Суждение в рамке
5 Суждение: Требуется решить уравнение: 7*х=14.
Общая посылка: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя.
Частная посылка: данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7.
Заключение: «нужно 14 разделить на 7, получим 2».
6 Суждение: Дан треугольник с углами 30 градусов, 90 градусов и 60 градусов
Общая посылка Сумма углов треугольника равна 180градусов.
Частная посылка 30+90+60=
Заключение: 180 градусов
7Дано уравнение: 12*х=312.
Для нахождения неизвестного множителя используется правило: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя)». Это правило (общее суждение) — общая посылка.
В данном уравнении произведение равно 312, известный множитель12. Это частная посылка.
Заключение: «нужно 312 разделить на 12, получим 26 ».