Лекция
Тема: Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.
Задание: изучите материал урока и ответьте письменно на контрольные вопросы.
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.
Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.
Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.
Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.
Введём понятие производной.
Пусть 
– некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и 
- некоторая фиксированная точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x - . Разность x - называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции в точке и обозначают 
:
= x - (1)
Приращением функции в точке называют разность между значением функции в точке 
и значением функции в точке и обозначают 
:
= 
(2).
Т.к. точка считается фиксированной, приращением функции является функцией приращения аргумента .
Составим отношение
,
которое также будет функцией приращения аргумента ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:
.
Если этот предел существует, то говорят, что функция имеет производную в точке , и пишут:
(3).
Число 
называется производной функции в точке .
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Если существует предел (3), также говорят, что функция дифференцируема в точке .
Если функция дифференцируема в каждой точке промежутка (a; b), то говорят, что она дифференцируема в промежутке (a; b).
Производная функции , дифференцируемой в промежутке (a; b), сама является функцией x.
Физический смысл производной
Пусть материальная точка движется по прямой под действием некоторых сил, не меняя направления своего движения, и пусть S(t) - расстояние, пройденное точкой от некоторого момента времени, который принят за нулевой, до момента t. Выберем какой-либо момент времени 
и рассмотрим промежуток времени 
от момента до момента 
. За этот промежуток времени точка пройдет некоторый путь, который обозначим 
. Этот путь есть функция . По известному из физики определению отношение / есть средняя скорость движения точки за время . Будем рассматривать все меньшие и меньшие промежутки , устремляя к нулю.
Предел 
называется мгновенной скоростью точки в момент времени .
Производная характеризует мгновенную скорость прямолинейного движения. Однако этим не исчерпывается использование производной. Производная имеет самые широкие практические применения в вопросах физики, химии, геометрии и т.д. При изучении неравномерно меняющихся величин скорость их изменения всегда выражается с помощью производной (мгновенная скорость распада радиоактивных веществ, мгновенная мощность, коэффициент сжатия жидкости при данном давлении, угловая скорость в данный момент времени, сила тока, теплоемкость при данной температуре).
Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения любой функции. Какую бы зависимость ни выражала функция 
, отношение 
есть средняя скорость изменения функции 
относительно изменения аргумента х, а 
- мгновенная скорость изменения функции при некотором значении 
.