Тема 3.2. Структурные средние

Задача 1. В фирме работают ____ бригад. Численность рабочих отдельных бригад составляет соответственно __________________________________ человек. Определите медиану численности рабочих в бригаде.

Решение. Составим ранжированный дискретный ряд. Наращивание суммы частот продолжаем до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот ряда.

Численность рабочих в бригаде	Частота	Сумма накопленных частот
Итого

В третьем столбце ненужное – зачеркнуть, а при необходимости – продолжить подсчёты.

В нашем примере сумма частот составила _______, её половина – ______. Накопленная сумма частот (равная или превысившая половину суммы всех частот) получилась равной ____. Варианта, соответствующая этой сумме, и есть медиана ряда: __________

Задача 2. Имеются следующие данные о средней часовой заработной плате (руб.) десяти рабочих: __________________________________________________________. Определить медиану средней часовой заработной платы рабочих.

Решение. Составим ранжированный дискретный ряд. Наращивание суммы частот продолжаем до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот ряда.

Средняя часовая заработная плата (руб.)	Частота	Сумма накопленных частот
Итого

В третьем столбце ненужное – зачеркнуть, а при необходимости – продолжить подсчёты.

В данном примере сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы частот ряда, поэтому медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей:

Задача 3. Результаты сдачи экзамена по теории вероятностей в одной группе характеризуются следующими данными:

Найдите модальный балл успеваемости студентов группы.

Решение. Для дискретных вариационных рядов модой является значение варианты с наибольшей частотой. Поэтому _______

Задача 4. Имеются данные об урожайности пшеницы в центнерах с 1 га:

Определить: 1) среднюю урожайность пшеницы способом моментов; 2) моду и медиану; 3) найти моду и медиану графически.

Решение. 1) Для вычисления среднего значения используем метод моментов. Составим вспомогательную таблицу, куда будем заносить:

- середины заданных интервалов, определяемые, как полусуммы от их границ: , где и - левая и правая граница i -го интервала соответственно;

- значения отклонений от условного нуля, за который принимаем моду дискретного ряда, составленного из середин интервалов;

- условные значения вариант, вычисляемые, как их отклонения от условного нуля, делённые на шаг h, вычисляемый, как разность между правой и левой границей интервала:

h = ________.

Урожайность (цент. с 1 га)	Посевная площадь (га)	середины интервалов	отклонения от условного нуля	условные значения вариант
Итого

Метод моментов используется только в рядах с равными интервалами, у которых длина шага постоянна!

Средняя арифметическая взвешенная для условных вариант будет равна:

Окончательно среднюю урожайность пшеницы находим, умножив полученный результат на шаг h и прибавив моду :

2) Мода интервального ряда определяется следующим образом:

- по максимальному значению частоты находим модальный интервал (тот, в котором расположено значение моды): ________________;

- внутри модального интервала находим значения:

________ – нижняя граница модального интервала;

________ – величина модального интервала;

________ – частота модального интервала;

________ – частота интервала, предшествующего модальному;

________ – частота интервала, следующего за модальным.

Значение моды вычисляем по формуле:

Вычисляем медиану интервального ряда. Для этого:

- по накопленным частотам находим медианный интервал, который характеризуется тем, что его накопленная частота равна или превышает половину суммы всех частот ряда:

________________;

- внутри медианного интервала находим значения:

________ – нижняя граница медианного интервала;

________ – величина медианного интервала;

________ – частота медианного интервала.

∑ f_i = ____________ – сумма частот;

= _________– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

Значение медианывычисляем по формуле:

=

3) Строим гистограмму, демонстрирующую распределение урожайности пшеницы по посевной площади и отмечаем на ней моду. С помощью кумуляты находим медиану.